用代数式表示几何图形的变化规律

构造几何图形解决代数问题

摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。 关键词 数形结合 解题 以形助数 教学

1.“以形助数”的思想应用

1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A?B。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A?B=[0,3]

B=[-2,3]

A=[0,4]

例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓

《简单几何图形中的规律》教学设计

第四章 图形初步认识（课题学习） 一、教学任务所处的地位和作用

本课是人教版数学教材七年级上册第四章图形初步认识后自行安排的课题学习，探索规律是数学发展的生命线，认识规律、掌握规律、运用规律是人类认识世界、改造世界的重要途径和手段。学会探索规律将对同学们认识世界、了解

世界，树立正确的人生和世界观将起到重要作用。

虽然在前面学习中，对各种探索规律题型，已零星渗透过，但对代数式表示数据规律的方法和类型没有进行整合，本课不是“纯粹”的数学知识的学习，而是特意对探索规律的常见类型方法进行简单整理，本节课活动是在原有探索基础上，进一步对数与数，数与形之间隐含的规律进行探索归类和思想方法渗透。对其后续学习是很有好处的。通过本节课的学习，可以加深对代数式与空间图形的理解，并为学生提供一个创新思维的空间，让学生经历探索数量关系,把数、形、式子和生活经验结合起来细心观察、分析、大胆猜想，逐步验证。使学生掌握探索数学规律的学习过程和方法,并会用语言、式子表示规律，从而获得数学建模

思想。

学情分析：七年级学生在前面学习中，有了初步的用符号表示数的能力，但对字母表示数的意义体会不深，探索规律还仅仅停留在有限数字规律

初中数学中考题

热点1 代数式的变形与代数式的求值

（时间：100分钟 分数：100分）

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1xy211a1．在x，，，x+y，xy-2，中，单项式有（ ） 322 3

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．x的5倍与y的差等于（ ）

A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y

3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（ ）整除

A．3 B．4 C．5 D．6

4．现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为常数，则2*3+1*4等于（ ）

A．10 B．6 C．14 D．12

225．已知一个凸四边形ABCD的四条边长依次是a、b、c、d，且a+ab-ac-bc= 0， b+bc-bd-cd=0，

那么四边形ABCD是（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

6．若m2x2-2x+n2是一个完全平方式，则mn的值为（ ）

A．1 B．2 C．±1 D．±2

7．某商店有两

巧构几何图形 证明代数问题

——兼谈构造法

习题 已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析 注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。 ? ac=bd，即 BC*AD=AB*CD ? BC/AB=CD/AD 又?B=?D=90 ??

?Rt⊿ABC 相似于 Rt⊿ADC

但为公共斜边，故 Rt⊿ABC? Rt⊿ADC

?AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d.

评注 把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。 应用

专题一：平面几何图形中的规律问题

问题一

平面上有n个点A1，A2，……，An，没有三点在同一直线上，那么以这些点为端点的线段有多少条？ 方法1

从这些点中任意选取一个，如A1，以这个点为端点的线段有(n－1)条，所以，以这些点为端点的线段都有(n－1)条，这样以这些点为端点的线段是不是有n(n－1)条呢？不是！因为如果这样算，每条线段都计算了两次，如线段A1A4，它既是以线段A1为端点的线段，又是以A4为端点的线段，所以，将这个结果除以2即为所求线段的条数。也就是说：

n(n－1)

以平面上有n个点（没有三点在同一直线上）为端点的线段有2条！ 方法2

从点A1开始，以它为端点的线段有(n－1)条，再从点A2开始，除了已经算过的一条线段外，以它为端点的线段有(n－2)条，如此下去，可以知道，以这些点为端点的线段共有(n－1)＋(n－2)＋……＋1条，再将这个式子的第1项和倒数第1项相加，第2项和倒数第2项相加，依次类推，可以得到以这些点为端点的

n(n－1)

线段共有2条！ 变式一：

平面上有n个点A1，A2，……，An，没有三点在同一直线上，那么以这些点为端点的直线有多少条？

变式二：如图，从点O出发的射线有n条，它们依次是OA1，OA2，……，

几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：

第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。

这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。

现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。

一、探究图形变化引出的不变性或变化规律

从图形变化过程来看，又分为三条途径：

Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。

从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。

1、图形变换引出的不变性或变化规律

我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然

代数式求值

【典型例题】

例1 若2m?6,4n?2，求22m?2n?2的值．

例2 若2a?3,46?6,8c?12，求a,b,c之间的数量关系．

例3 己知x2?y2?4x?6y?13?0,求x+y的值.

例4 已知x2?y2?2x?4y?5?0，求x?y的值．

例5 已知a?a?1??b?a

111例6 已知x2?3x?1?0，求x?,x2?2,x4?4的值．

xxx

?2?a2?b2?ab的值． ?2，求2【经典练习】

1

1．已知3m?4,3m?4n?4，则2003n的值是多少？ 81

2．计算(x?2y)(x?2y)?(2x?y)(?2x?y)其中x=8,y=-8

3．已知a?b?3,ab?4，求a2?b2的值．

4．已知x2?y2?27,x?y?3，求（1）x?y；（2）

5．若3m?6,27n?2，求32m?3n的值．

26．如果?2x?m??4x2?12x?n，求m?n的值．

2

y． x

7．化简求值：a2?b2a2?b2??a?b??a?b?．其中a?4,b?22????1． 4

8．已知x?y?4,xy?1

a天，这时完成的工程为

《列代数式、代数式的值》同步练习

6、一辆汽车从甲地出发，先以a千米/时速度走了m小时，又以b千米/时的速

一、判断题 1、单独一个数如-2

度走了n小时到达乙地，则汽车由甲地到乙地的平均速度为 千米/时

2

不是代数式（ ） 3

7、一件商品，每件成本a元，将成本增加25％定出价格，后因仓库积压调作，按价格的92％出售，每件还能盈利

2、s=πr是一个代数式（ ） 3、当a是一个整数时，

1

总有意义（ ） a

8、有一列数：1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第2个数数到第6个数时共数了 个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时共数了 个数。

三、选择题：

1、下列代数式中符号代数式书写要求的有（ ）

4、代数式

1

的值不能大于1 2

1 x

2

2

2

5、x与y的平方和与x、y的和的平方的差为(x+y)-(x+y)

6、某工厂第一个月生产a件产品，第二个月增产x%，两个月共生产a+a·x% 二、填空题

1、设甲数为x，乙数比甲数的3倍多2，则乙数为 2、设甲数为a，乙数为b，则它们的倒数和为

代数式求值（一） 方法：直接带入法 【典型例题】

例1 当x?2,y?1时，求代数式x2?xy?y2?1的值。

212

例2 已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的有理数，求代数式2x3?5x2y?3xy2?15y3的值。

11??例3．已知x???1??3??，求代数式x1999?x1998?x1997???x?1的值。

26??3

例4 已知

例5 当x?7时，代数式ax3?bx?5的值为7；当x??7时，代数式ax3?bx?5的值为多少？

例6 已知当x?5时，代数式ax2?bx?5的值是10，求x?5时，代数式ax2?bx?5的值。

1

2?2a?b?3?a?b?2a?b的值。 ??5，求代数式

a?b2a?ba?b

【巩固练习】

1．当a?17，b?13时，求a2?ab?b2的值。

2．已知a?b?3，b?c?2；求代数式?a?c??3a?1?3c的值。

23.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m?3，求代数式213?a?b??6cd?3m2?m的值。

2

111??4．已知x???1????2?，求代数式x1999?2x1998?3x199

列代数式

一、 判断.

1.表示a与b差的倒数应为

1.( a?b)

)

2.代数式(x?y)2表示x加上y的平方.(

3.若一个三位数个位数字为a,十位数安为b,百位数字为c,则该三位数为cba.( ) 4.a?3是代数式,a?3不是代数式.( ) 5.3x?7?2y?3是代数式.( ) 6.a是代数式,–3也是代数式.( ) 7.4+2–3不是代数式.( 8.

)

)

n(n?1),x?2y?1都是代数式.( 2二、填空.

9.a2?b2的意义是____________,(a?b)2的意义是____________.在运算顺序上两者的不同之处是a2?b2先____________,后____________;(a?b)2先____________,后____________.

10.代数式

a?b表示的意义是____________. 211.找规律填空.1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;?；1+3+5+?+99=____________=____________；1+3+5+?+(2n?1)=____________.

12.a是一个两位数,已知十位数字为b,则个位数字是