含参数的导数问题怎么讨论

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

?1,x?1?例1（2008年高考广东卷（理科） 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。

?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)??解：F(x)?f(x)?kx??1?x。

??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

1?k?1?x?2（一）若x?1，则F'(x)??1?x?2。由于当k?0时，F'(x)?0无实根

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.

一．含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）

2ax a2 1

例1（2012西2）已知函数f(x) ，其中a R． 2

x 1

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y （Ⅱ）求

f(x)在原点处的切线方程；

f(x)的单调区间．

f(x)

（Ⅰ）解：当a 1时，

(x 1)(x 1)2x

f(x) 2，． ………………2分 222

x 1(x 1)

由

f (0) 2， 得曲线y f(x)在原点处的切线方程是2x y 0．…………3分

f (x) 2

(x a)(ax 1)

． ………………4

x2 12x

．所以f(x)在(0, )单调递增，在( ,0)单调递2

x 1

（Ⅱ）解：分

① 当a 0时，f (x)

减． ………………5分

1

(x a)(

导数含参数问题

类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值 例1：设函数f(x)?x3?ax2?9x?1(a?0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间. 解：(Ⅰ) a??3,由题设a?0,所以a??3.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a??3,因此f(x)?x3?3x2?9x?1, f?(x)?3x2?6x?9?3(x?3(x?1) 令f?(x)?0,解得：x1??1,x2?3.

当x?(??,?1)时，f?(x)?0,故f(x)在(??，?1）上为增函数； 当x?(?1,3)时，f?(x)?0,故f(x)在（?1， 3）上为减函数； 当x?(3,+?)时，f?(x)?0,故f(x)在（3，??）上为增函数. 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(??,?1）和（3，??）； 单调递减区间为（?1，3）.

变式训练1：设函数f(x)?x4?ax3?2x2?b(x?R)，其中a，b?R． 10（Ⅰ）当a??时，讨论函数f(x)的单调性； 3

（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅰ）解：f?(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)．

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题

含参数导数问题的分类讨论问题

1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数f(x)?x3?(a?2)x2?2ax（a>0）,求函数的单调区间

f?(x)?x?(a?2)x?2a?(x?a)(x?2) ★★例1 已知函数f(x)?x?2a?(a?2)lnx（a>0）求函数的单调区间 x1312x2?(a?2)x?2a(x?2)(x?a)? f?(x)? 2xx22ax?a2?1★★★例3已知函数f?x???x?R?，其中a?R。 2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f?x?的单调区间与极值。

??解：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程为6x?25y?32?0。

2a(x2?1)?2（Ⅱ）由于a?0，所以f??x?? ,由

x2?1????1f'?x??0，得x1??,x2?a。这两个实根都在定

a1???2ax?ax?????2a?x?1??2x?2a

莅 临 指 导

热 烈 欢 迎 专 家

关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒

高考复习作文系列: 时评、议论文写法举例

“问题讨论型材料作文题”怎么写？

一、附“2013年广东高考、2014年广州一模、汕头一模”作文题：

1、（2013年广东高考）阅读下面的文字，根据要求作文。

有 一个人白手起家，成了富翁。他为人慷慨，热心于慈善事业。

一天，他了解到有三个贫困家庭，生活难以为继。他同情这几个家庭的处境，决定为他们提

供捐助。

一家十分感激，高兴地接受了他的帮助。

一家犹豫着接受了，但声明一定会偿还。

一家谢谢他的好意，但以为这是一种施舍，拒绝了。

要求：①.自选角度，确定立意，自拟标题，文体不限。②不要脱离材料内容及含义的范围。③不少于800字。④不得套作，不得抄袭。

2、（2014年广州一模）阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

某报社记者发现中学生校服上的涂画现象较为突出，下面是他的采访记录。 学校门口——

记者：同学，你校服上画了机器猫，为什么又用涂改液涂掉? 学生：班主任让我全部洗掉，洗不掉就得用白色涂改液盖住。 商场——

记者：同学，你校服上有歌星张靓颖的签名，是真迹吗? 学生：百分百真迹。 文具店——

记者：哇，你怎么直接在校服上试笔?洗不干净的!

学生：校服很便宜呀。

要求：①自

专题08 含参数的导数问题解题方法

一、陷阱类型 1.导数与不等式证明 2.极值点偏移问题 3.导函数为0的替换作用 4.导数与数列不等式的证明 5.变形后求导 6.讨论参数求参数

7.与三角函数有关的含参数的求导问题 8.构造函数问题 9.恒成立求参数

二、陷阱类型分析及练习 1.导数与不等式证明

例1. 已知函数f?x?=lnx+ax+(2a+1)x．

2

（1）讨论f?x?的单调性； （2）当a﹤0时，证明f?x???3?2． 4a（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在x??1取得最大值，最大值为 2a111)?ln(?)?1?. 2a2a4a311311?2等价于ln(?)?1????2，即ln(?)??1?0. 所以f(x)??4a2a4a4a2a2a1设g（x）=lnx-x+1，则g’x??1.

xf(?当x∈（0,1）时， g??x??0；当x∈（1，+?）时， g??x??0.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，

+?）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当

a＜0时， ln?113??1?0，即fx???2. 2a2a4a【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见

二次函数求最值参数分类讨论的方法

分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．

一般地,对于二次函数y=a(x?m)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

t+s 2ts ② ① ③ ④ ①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数f(x)?x2?2ax?3在x?[0,4]上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：f(x)?x?2ax?3?(x?a)?3?a

∴此函数图像开口向上，对称轴x=a

①、当a＜0时，0

导数综合练习二利用导数求参数范围（7.7）

1、已知函数f x xlnx.

（1）求函数f x 的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y f x 相切，求直线l的方程；

（3）设函数g x f x a x 1 ，其中a R，求函数g x 在 1,e 上的最小值.

（其中e为自然对数的底数）

2．已知{ EMBED Equation.3 |a为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

3． 已知函数在处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；

(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

4.．设函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．

导数综合练习二利用导数求参数范围

1. 解：（1）f x lnx 1,x＞0.………………………………………………………1分 而f x ＞0 lnx+1＞0 x＞,f x ＜0 lnx 1＜0 0＜x＜,

所以f x 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增.………………3分 1e1e 1

e 1 e

所以x

导数中的分类讨论问题

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引起的分类讨论

例：已知函数f(x)?plnx?(p?1)x2?1, 当p?0时，讨论函数f(x)的单调性。

解：

'f(x)的定义域为（0，+∞），

p2?p?1?x2?pf?x???2?p?1?x?xx，

当p?1时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调递增；

p. 2?p?1? 当0＜p＜1时，令f'(x)=0，解得x?????p?p???x???,??? 则当x??0,?时，f'(x)＞0；f'(x)??时，????2p?12p?1????＜0.

故f(x)在??0,?????p?p?单调递增，???单调递,??在???????2p?1?2p?1??减.

例：已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1，求函数f(x)的单调区间；