国际数学奥林匹克竞赛

国际奥林匹克竞赛

国际奥林匹克竞赛，是供全球各地中学生的比赛，一般指由世界各国尚未接受系统的高等教育的中学生参加的学科知识竞赛。 简介

学科奥林匹克竞赛每年举办一次，由参与竞赛各国的国家级主管教育的部门（通常为教育部）轮流举办。参加竞赛的国家每国派出1-4人不等的中学生组成代表队赴举办国参加比赛，决出金、银、铜牌及其他各种奖项若干。

全国五项学科竞赛活动包括数学、物理、化学、生物和信息学竞赛，是由中国科学技术协会所属中国数学会、中国物理学会、中国化学会、中国计算机学会、中国动物学会和中国植物学会等六个学会主办，并得到教育部及各级教育主管部门支持的，在国内具有广泛影响的面向在校高中学生的课外活动。其宗旨是：向中学生普及科学知识，激发他们学习学科知识的兴趣和积极性，为优秀学生提供相互交流和学习的机会，促进中等学校科学教育改革。通过竞赛和相关的活动培养和选拔优秀学生，为参加国际奥林匹克学科竞赛选拔参赛选手。学科竞赛学科竞赛属于课外活动，始终坚持学有余力、对学科学习有兴趣的学生自愿参加的原则，是在教师指导下学生研究性学习的重要方式。

每年，通过全国学科竞赛选拔优秀的中学生组成国家集训队，依托北大、清华、复旦大学等著名院校，由专家和领队对学生进行培

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初中数学奥林匹克竞赛教程

1

初中数学竞赛大纲（修订稿）

数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养??，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第１届

（1967年于波兰的华沙）

【题１】质量Ｍ＝0.2kg的小球静置于垂直柱上，柱高ｈ＝5m。一粒质量ｍ＝0.01kg、以速度 0＝500m/s飞行的子弹水平地穿过球心。球落在

距离柱s＝20m的地面上。问子弹落在地面何处？子弹动能中有多少转换为热能？

解：在所有碰撞情况下，系统的总动量均保持不变：

mv0 mv MV

其中v和V分别是碰撞后子弹的速度和小球的速 度. 两者的飞行时间都是t

2h

1.01s g

球在这段时间沿水平方向走过20m的距离，故它在水平方向的速度为：

V

20

19.8（m/s） 1.01

由方程0.01×500＝0.01v＋0.2×19.8 可求出子弹在碰撞后的速度为：v＝104m/s

子弹也在1.01s后落地，故它落在与柱的水平距离为S＝vt＝104×1.01＝105m 的地面上。

碰撞前子弹的初始动能为球在刚碰撞后的动能为

12

mv0 1250 J 2

1

MV2 39.2 J 2

12

子弹在刚碰撞后的动能为mv 54 J

2

与初始动能相比，两者之差为1250 J－93.2 J＝1156.8 J

这表明原来动能的92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在

第二届保良局(香港)国际 小学数学竞赛(1998．7)

队际赛试卷

1．在下面数列中，请问第1998个数是什么?

1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，-6，6，-6，6，-6，6，?。

2．有一项工程，小明先独做30天，接着小华继续独做5天，以后，他们两人合做10天才完成这项工程。同样的工程，如果由小明和小华合做，只需20天便可完成。假设小明和小华每人每天工作量是固定的，试问小明独做完成这项工程需要多少天?

3. 用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”，请问第8个“L—质数”是什么?

4. 在平面上有许多个圆，每一个圆都被两条互相垂直的直径分成四部分，每一部分涂上红色、黄色或蓝色，任何两个圆，无论怎样在平面上旋转都互不相同，请问这样的三种颜色都有的圆最多有几个?

5．求满足下列条件的最大正整数是多少? (a)这个数的所有数字都不同；

(b)这个数任意两个相邻的数字所构成的两位数总可被17或23整除。

6. 三位学生参加体育竞赛，竞赛至少有两个项目，每位学生都需参加所有的项目。任何一个项目，第二名的学生比第三名的学生得分多，但比

第二届保良局(香港)国际 小学数学竞赛(1998．7)

队际赛试卷

1．在下面数列中，请问第1998个数是什么?

1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，-6，6，-6，6，-6，6，?。

2．有一项工程，小明先独做30天，接着小华继续独做5天，以后，他们两人合做10天才完成这项工程。同样的工程，如果由小明和小华合做，只需20天便可完成。假设小明和小华每人每天工作量是固定的，试问小明独做完成这项工程需要多少天?

3. 用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”，请问第8个“L—质数”是什么?

4. 在平面上有许多个圆，每一个圆都被两条互相垂直的直径分成四部分，每一部分涂上红色、黄色或蓝色，任何两个圆，无论怎样在平面上旋转都互不相同，请问这样的三种颜色都有的圆最多有几个?

5．求满足下列条件的最大正整数是多少? (a)这个数的所有数字都不同；

(b)这个数任意两个相邻的数字所构成的两位数总可被17或23整除。

6. 三位学生参加体育竞赛，竞赛至少有两个项目，每位学生都需参加所有的项目。任何一个项目，第二名的学生比第三名的学生得分多，但比

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第１届

（1967年于波兰的华沙）

【题１】质量Ｍ＝0.2kg的小球静置于垂直柱上，柱高ｈ＝5m。一粒质量ｍ＝0.01kg、以速度 0＝500m/s飞行的子弹水平地穿过球心。球落在

距离柱s＝20m的地面上。问子弹落在地面何处？子弹动能中有多少转换为热能？

解：在所有碰撞情况下，系统的总动量均保持不变：

mv0 mv MV

其中v和V分别是碰撞后子弹的速度和小球的速 度. 两者的飞行时间都是t

2h

1.01s g

球在这段时间沿水平方向走过20m的距离，故它在水平方向的速度为：

V

20

19.8（m/s） 1.01

由方程0.01×500＝0.01v＋0.2×19.8 可求出子弹在碰撞后的速度为：v＝104m/s

子弹也在1.01s后落地，故它落在与柱的水平距离为S＝vt＝104×1.01＝105m 的地面上。

碰撞前子弹的初始动能为球在刚碰撞后的动能为

12

mv0 1250 J 2

1

MV2 39.2 J 2

12

子弹在刚碰撞后的动能为mv 54 J

2

与初始动能相比，两者之差为1250 J－93.2 J＝1156.8 J

这表明原来动能的92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在

bio 竞赛

第四届IBO试题

选择题

1．在某一类型的血细胞中，一种电中性物质的浓度比周围血浆中的该物质的浓度高得多，然而此物质仍能继续不断地进入细胞。该物质进入细胞的这一过程是：

A 渗透作用 B 简单扩散作用

C 易化扩散即进行得较快的扩散作用 D 主动传送（或称活性转运）

2．一U–形管中装有两种木同的溶液R和S，并为一半透性膜（X）隔开。与S相比，R为低渗溶液，右图中黑色的深浅即代表浓度高低。当右图中的U形管内已达到平衡时，溶液表面是一样高还是不一样高？渗透压（或渗透势）是相等还是不相等（参看下图）？

A 右侧较高，两溶液等渗，即浓度相等

B 右侧较高，且右侧为高渗，即浓度较高

C 左侧较高，且有侧为低渗，即浓度较低

D 两侧高度相等，且为等渗

3．下列四对名词中，哪一对的表述是合适的？

A 叶绿体——贮藏酶 B 过氧化（酶）体——细胞中的转运作用

C 核仁——核糖体亚基的组装部位 D 溶酶体——细胞中的发电站

4．利用光学显微镜能够看到当细胞开始失水时，植物细胞不如动物细胞收缩得那么显著。这是因为：

A 质膜的伸缩性不同 B 质膜上的小

第1届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cos2x + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不

第1届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cosx + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在