存在性问题和恒成立问题

1、（12年.沈阳25题）已知，如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2，0),点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=?2x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE；

（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22?1） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

2、（12毕节27） （本题16分）如图，直线l1经过点A（-1，0），直线l2经过点B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,?3),抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证

莅 临 指 导

热 烈 欢 迎 专 家

关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒

专题五 解析几何

例题、 (2011年·辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原 点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴 为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于 两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次 为A,B,C,D.1 (1)设e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(2)当e变化时,是否存在直线l,使得 BO∥AN?并说明理由.

【解析】(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设x2 y2 b2 y 2 x2 C1: + 2=1,C2: + =1,(a>b>0). a2 b a4 a2

设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立, 求得A(t,1a b2 a t ),B(t, 2

b a

2 a t ). 2

当e= 时,b= a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知 2 |BC|∶|AD|=2 | yB | 2 | yA |

3 2

b2 = 2 a

=

3 4

(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与 AN的斜率kAN相等,b 2 2 a t a t

也可用向量表示更恰当。 也可用向量表示更恰当。

即

=

a 2 2

2018年中考数学复习《热点专题》

1 初中常见的数学思想

1. (2017·包头)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm、则该等腰三角形的底边长为( )

A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm

2. ( 2017·荆州)为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款( ) A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 200元

3. ( 2016·淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格, A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中?QMB的正切值是( )

A.

1 B. 1 C. 2

3 D. 2

4. (2016·盐城)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，a?f(x)恒成立，则有a?f(x)max

a?f(x)恒成立，则有a?f(x)min

（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x??a,b?，f(x)?0恒成立，那么只需f(x)min?0

?x??a,b?，使得f(x)?0，那么只需f(x)max?0 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x1,x2??a,b?，f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)min?g(x)max 如：化简后我们分析得到，对?x1??a,b?，?x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需

f(x)min?g(x)min

如：化简后我们分析得到，?x1??a,b?，x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)max?g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变

已知函数f(x)?x?ax?bx?a（a、b?R）

1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值

2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

解：（1）由f(x)?x?ax?bx?a， 得f'(x)?3x?2ax?b

由 函数y?f(x)在点x?1处有极值10 可得以下3条信息（第<3>条作为验证用）： <1>： 函数在x?1处的导数为0，故 3?2a?b?0； <2>：函数在x?1处的函数值为0，故 1?a?b?a?10， 由以上两式整理可得 ?23222322???a?3??a?4??0

??b??3?2a解得 ??a??3?a?4，或 ?

b?3b??11??若 ??a??322， 则 f'(x)?3x?6x?3?3?x?1?在R恒大于等于0，

?b?3可见 y?f(x)在R上为单调递增函数，尽管在x?1处导数为0，但x?1并不是极值点）【——这就是第<3>条信息：可以解释成<3>：方程f'(x)?3x?2ax?b?0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则（都）不是极值点。】 ．．．所以 只有?2?a?4符合要求，

?b??11即 b??11

（2）对于任意的a???4,

函数中的恒成立、恰成立和能成立问题

教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法

过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题：

已知函数f(x)?2k2x?k,x?[0,1]，函数g(x)?3x2?2(k2?k?1)x?5,x?[?1,0]， 当k?6时，对任意x1?[0,1]，是否存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立.若k?2呢？ 变式1：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.

变式2：存在x1?[0,1] x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

g(x)的值域与f(x)的值域的交集非空. 变式3：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

gmin(x)?fmin(x)

《小结》： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.

x2?2x?a,对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，例1：（1）已知f(x)?求实数a的

中考数学专题复习——存在性问题

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.如图，把抛物线y?x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y?(x?h)2?k. 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM?x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1

二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y?

k

相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2）， x

点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线A

高中竞赛

中

等

数

学

存在性问题的解题方法吓王连笑天津市实验中学,

本讲适合高中

,

,

…

,

这一

类中必有一,

,

与

,

用抽屉原理解存在性问题

…

,

。

中的一个属于同一类设一,

,

与,‘

属

把时。,,

个元素分成

。

,

的个集合个希元素

,

当当

同一类则数之和是,,

一

,

,

,

即有两,

贝必有一集合至少有、

的倍数,

如果只有二个数设为‘,

落在,

朴时,,

,

贝“有一集合至少有〔〕‘个元。

登

中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

,

一

,

的某,

把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

…氏一,,,

。,

一

必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

,

与

,

…

中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

落在

关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

,

,

‘,

一矶

一,

,

一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

。,

。

,

,

落

个整数求证其中必整除,,,

在二,,

,

,

中的每一个则可讨论,

存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

。

,

,

一

。

,

,

一

。,

,

一

,

一。

,

间题同样得

…,

,

证…,

考虑

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一

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贝必有一集合至少有、

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如果只有二个数设为‘,

落在,

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中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

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一

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把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

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必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

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与

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中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

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关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

,

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一矶

一,

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一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

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存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

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