极值点偏移问题专题(8)杨春波
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专题1-极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破1
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1,x2,且a?x1?x2?b,
(1)若f(x1)?f(2x0?x2),则极(小)大值点x0右(左)偏;
(2)若f(x1)?f(2x0?x2),则极(小)大值点x0右(左)偏.
证明:(1)因为对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,则函数f(x)的单调递增(减)区间为(a,x0),单调递减(增)区间为(x0,b),由于有x1?x0,且2x0?x2?x0,又f(x1)?f(2x0?x2),故x1?(?)2x0?x2,a?x1?x2?b,所以
x1?x2?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0,即函数极(小)大值点x0右(左)偏; 2(2)证明略.
左快右慢(极值点左偏?m?x?x2x1?x2) 左慢右快(极值点右偏?m?1) 22
左快右慢(极值点左偏?m?x1?x2x?x2) 左慢右快(极值点右偏?m?1) 22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述:
高考数学玩转压轴题专题1.8极值点偏移第六招 - - 极值点偏移终极套路201711293157
。 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 专题1.8 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路
值点偏移问题在高考中很常见,此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力,层次性强,能力要求较高.
下面给出引例,通过探究,归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知f?x??xlnx?12mx?x,m?R.若f?x?有两个极值点x1,x2,且x1?x2,22求证:x1x2?e(e为自然对数的底数).
解法一:齐次构造通解偏移套路
?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1.
于是lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x11?t?lnt?x2又0?x1?x2,设t?,则t?1.因此,lnx1?lnx2?,t?1.
x1t?1要证lnx1?lnx2?2,即证:
?t?1?lnt?2t?1, t?1.即:当t?1时,有lnt?2?t?1?.设t?1 1
2?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0, 函数h?t??lnt?,t?1,则h??t???22tt?1t?t?1??t?1?所以,h?t?为?1.???上的增函数.注意到,h?1??0,因此,h?t??h
极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
lna?lnba?ba?b?,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为
lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?.
先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
kln?akl?nb?,
k?1得xabklna?a?klnb?b,构造函数f?x??klnx?x,则f?a??f?b?.由f??x??f??k??0,且f?x?在?0,k?上
平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
a?b?a?b?2k,等价于?,这是两个常规的极值点偏移问题,2ab?k2?留给读者尝试.
证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
lna?lnb2ln
极值点偏移问题专题(五) - 对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
lna?lnba?ba?b?,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为
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先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
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平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
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证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
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极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
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先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
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k?1得xabklna?a?klnb?b,构造函数f?x??klnx?x,则f?a??f?b?.由f??x??f??k??0,且f?x?在?0,k?上
平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
a?b?a?b?2k,等价于?,这是两个常规的极值点偏移问题,2ab?k2?留给读者尝试.
证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
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极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
lna?lnba?ba?b?,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为
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先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
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k?1得xabklna?a?klnb?b,构造函数f?x??klnx?x,则f?a??f?b?.由f??x??f??k??0,且f?x?在?0,k?上
平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
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证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
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极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
lna?lnba?ba?b?,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为
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先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
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k?1得xabklna?a?klnb?b,构造函数f?x??klnx?x,则f?a??f?b?.由f??x??f??k??0,且f?x?在?0,k?上
平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
a?b?a?b?2k,等价于?,这是两个常规的极值点偏移问题,2ab?k2?留给读者尝试.
证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
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等式约束极值问题-外点罚函数法
重庆科技学院学生实验报告
课程名称 最优化方法与应用 实验项目名称 学号 等式约束极值问题-外点罚函数法 实验日期 专业班级 实验成绩 开课学院及实验室 学生姓名 指导教师 一、实验目的和要求 1.熟悉外点罚函数法的思想和步骤; 2.掌握外点罚函数法求解等式约束的多维极值问题。 二、实验内容和原理 1. 对所给等式约束的多维极值问题用matlab编程进行求解; 三、主要仪器设备 操作系统为Windows 2000及以上的电脑,并装有matlab软件 四、实验操作方法和步骤 根据外点罚函数法的步骤,读懂下列的程序,并用该程序求解所给多维函数极值。 五、实验记录与处理(数据、图表、计算等) >> syms x y; >> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,2,[x,y],0.0001) ans = 0 0 Minf=0 >>六、实验结果及分析 运用所给程序能够求出最优解X=(0,0)最优值0, 附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long
电学极值问题汇总
1.物理小组自制一个可以改变电功率的电热器。他们用三
根阻值不相等的电阻丝R1、R2和R3按图21连接起来,接入220V电源。已知R1<R2<R3,闭合电源开关S,通过S1R3 R1 S1 R2 S和S2的开关控制,可以得到四种不同的电功率,知道最大的电功率是最小电功率的11倍,只闭合S1时流过电路的电流是2.2A,此时电功率是只闭合S2时电功率的2倍。求三根电阻丝的阻值。(5分)
2.育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模
型。为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影
响,他们将电表接入电路中,其电路图如图18所示。电源两端电压不变,R1=10?。开关S1、S2都断开或都闭合所形成的两个电路状态中,电压表示数之比为1∶6;R2消耗的最大功率和最小功率之比为4∶1;R3的最小功率为0.8W。 求:⑴电阻R2的值; ⑵电源两端的电压;
(3)这个电热器可能有多少个档位,分别是多少瓦。
S2 220V 图21 3.育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型。为了分析接入电路的电阻对
电热器的电功率的影响,他们将电表接入电路中,其电路图如图24所示。当只闭合开关S1时,电压表的示数为U1,电阻R3消耗的电功率为P3;当只闭合开关S2
板块模型的临界极值问题
板块模型的临界极值问题
1【经典模型】 如图甲所示,M、m两物块叠放在光滑的水平面上,两物块间的动摩擦因数为μ,一个恒力F作用在物块M上.
(1)F至少为多大,可以使M、m之间产生相对滑动?
(2)如图乙所示,假如恒力F作用在m上,则F至少为多大,可以使M、m之间产生相对滑动?
练1、如图所示,物体A、B的质量分别为2kg和1kg,A置于光滑的水平地面上,B叠加在A
上。已知A、B间的动摩擦因数为0.4,水平向右的拉力F作用在B上,A、B一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为1.5m/s。(g2 ?10m/s2)求:
(1)力F的大小。
(2)A受到的摩擦力大小和方向。
(3)A、B之间的最大静摩擦力?A能获得的最大加速度? (4)要想A、B一起加速(相对静止),力F应满足什么条件? (5)要想A、B分离,力F应满足什么条件?
练2、物体A放在物体B上,物体B放在光滑的水平面上,已知mA?6kg,mB?2kg,A、B间动摩擦因数??0.2,如图所示。现用一水平向右的拉力F作用于物体A上,则下列说法中正确的是(g?10m/s2)() A.当拉力F<12N时,A静止不动
B.当拉力F=16N时,A对B的摩擦力等于4N C.当拉力F>16N时,A一定相对B滑动 D.无论拉力F