极值点偏移问题专题(8)杨春波

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1,x2，且a?x1?x2?b，

（1）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于有x1?x0，且2x0?x2?x0，又f(x1)?f(2x0?x2)，故x1?(?)2x0?x2，a?x1?x2?b，所以

x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏； 2（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏?m?x?x2x1?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22

左快右慢（极值点左偏?m?x1?x2x?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题1.8 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路

值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.

下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知f?x??xlnx?12mx?x，m?R．若f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，22求证：x1x2?e（e为自然对数的底数）．

解法一：齐次构造通解偏移套路

?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x11?t?lnt?x2又0?x1?x2，设t?，则t?1．因此，lnx1?lnx2?，t?1．

x1t?1要证lnx1?lnx2?2，即证：

?t?1?lnt?2t?1， t?1．即：当t?1时，有lnt?2?t?1?．设t?1 1

2?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h??t???22tt?1t?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

lna?lnb2ln

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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重庆科技学院学生实验报告

课程名称 最优化方法与应用 实验项目名称 学号 等式约束极值问题-外点罚函数法 实验日期 专业班级 实验成绩 开课学院及实验室 学生姓名 指导教师 一、实验目的和要求 1.熟悉外点罚函数法的思想和步骤； 2.掌握外点罚函数法求解等式约束的多维极值问题。 二、实验内容和原理 1. 对所给等式约束的多维极值问题用matlab编程进行求解； 三、主要仪器设备 操作系统为Windows 2000及以上的电脑，并装有matlab软件 四、实验操作方法和步骤 根据外点罚函数法的步骤，读懂下列的程序，并用该程序求解所给多维函数极值。 五、实验记录与处理（数据、图表、计算等） >> syms x y; >> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,2,[x,y],0.0001) ans = 0 0 Minf=0 >>六、实验结果及分析 运用所给程序能够求出最优解X=（0,0）最优值0， 附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long

1．物理小组自制一个可以改变电功率的电热器。他们用三

根阻值不相等的电阻丝R1、R2和R3按图21连接起来，接入220V电源。已知R1＜R2＜R3，闭合电源开关S，通过S1R3 R1 S1 R2 S和S2的开关控制，可以得到四种不同的电功率，知道最大的电功率是最小电功率的11倍，只闭合S1时流过电路的电流是2.2A，此时电功率是只闭合S2时电功率的2倍。求三根电阻丝的阻值。（5分）

2．育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模

型。为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影

响，他们将电表接入电路中，其电路图如图18所示。电源两端电压不变，R1=10?。开关S1、S2都断开或都闭合所形成的两个电路状态中，电压表示数之比为1∶6；R2消耗的最大功率和最小功率之比为4∶1；R3的最小功率为0.8W。 求：⑴电阻R2的值； ⑵电源两端的电压；

（3）这个电热器可能有多少个档位，分别是多少瓦。

S2 220V 图21 3．育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型。为了分析接入电路的电阻对

电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图24所示。当只闭合开关S1时，电压表的示数为U1，电阻R3消耗的电功率为P3；当只闭合开关S2

板块模型的临界极值问题

1【经典模型】 如图甲所示，M、m两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F作用在物块M上．

(1)F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

(2)如图乙所示，假如恒力F作用在m上，则F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

练1、如图所示，物体A、B的质量分别为2kg和1kg，A置于光滑的水平地面上，B叠加在A

上。已知A、B间的动摩擦因数为0.4，水平向右的拉力F作用在B上，A、B一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为1.5m/s。（g2 ?10m/s2）求：

（1）力F的大小。

（2）A受到的摩擦力大小和方向。

（3）A、B之间的最大静摩擦力？A能获得的最大加速度？ （4）要想A、B一起加速（相对静止），力F应满足什么条件？ （5）要想A、B分离，力F应满足什么条件？

练2、物体A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上，已知mA?6kg，mB?2kg，A、B间动摩擦因数??0.2，如图所示。现用一水平向右的拉力F作用于物体A上，则下列说法中正确的是（g?10m/s2）（） A．当拉力F<12N时，A静止不动

B．当拉力F=16N时，A对B的摩擦力等于4N C．当拉力F>16N时，A一定相对B滑动 D．无论拉力F