线性代数第二章矩阵知识框架

第2.5节 2.5节 矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换 初等矩阵

2002/3

天津商学院

1. 矩阵的初等变换 一.引例 二.定义初等变换 三.定义等价变换行阶梯形矩阵 本节主要概念： 初等变换

四.行阶梯形矩阵标准形 等价

2002/3

天津商学院

求解线性方程组

一.引例

2x1 x2 x3 + x4 = 2 x + x 2x + x = 4 1 2 3 4 L (1) L 4x1 6x2 + 2x3 2x4 = 4 3x1 + 6x2 9x3 + 7x4 = 9

x1 + x2 2x3 + x4 = 4 L1 1 2 L2 2x1 x2 x3 + x4 = 2 解 (1) → L (B) L 1 L3 3 ÷2 2x 3x2 + x3 x4 = 2 1 3x + 6x 9x + 7x = 9L 4 2 3 4 12 3 3 2 1 4 3 1

→

x1 + x2 2x3 + x4 = 4 L1 2x2 2x3 + 2x4 = 0 L 2 L (B2) L 5x2 + 5x3 3x4 = 6L 3

2.1

消元法与矩阵的初等变换

一、消元法解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程.引例 求解线性方程组

2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,

1 2

34

2

(1)

解1 2 3 2

(1)

x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,

1 2

34 1 2

( B1 )

2 3 4

3 21 31

34

( B2 )

1 2 2 3 52 4 32

x1 x2 2 x3 x4 4

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式

线性代数高等教育出版社

§2.2 矩阵的基本运算1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例

线性代数高等教育出版社

1、运算定义&运算规则同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对应 的元素相等,即

aij bij i 1,2, , m; j 1,2, , n ,则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B

线性代数高等教育出版社

矩阵的加法设有两个m n矩阵A (aij)和B (bij) 矩阵A与B的和记 为A B 规定为A B (aij bij ) 即 a11 b11 a21 b21 A B a b m1 m1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

注 只有当两个矩阵是同型

第二章矩阵及其运算

1

1

向前

向后

返回

第一章

矩阵

一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题

第二节矩阵及其运算2

向前

向后

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n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

1122 1. 线性方程组的解取决于

(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()

,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入

3

向前

向后

返回

n n m m mn

m a a a b a a a b a a a b ????????????

11

12112122221

2

对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.

A

B

C

D

4

向前

向后返回

四城市间的航班图情况常用表格来表示:

发站

到站A

B C D A

B C D

其中表示有航班.

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一个数表:

5

向前

向后

返回

111111

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

矩阵理论成都信息工程学院 李胜坤

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

第一章

线性代数相关知识

线性空间的定义与例子定义 如果数集 P 中任意两个数作某一运算后的结果仍在 对这个运算是封闭的。对加， P 中，我们就称数集 P 对这个运算是封闭的。对加，减， 乘，除四则运算封闭的数集 称为数域。 称为数域。 P

定义 是一个非空的集合, 是一个数域， 设 V 是一个非空的集合 P 是一个数域， 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 在集合 V 中定义两种代数运算 一种是加法运算 另一种是数乘运算, 并且这两种运算满足下列八 另一种是数乘运算 并且这两种运算满足下列八 条运算律： 条运算律： α + β = β +α (1) 加法交换律 ) (2) 加法结合律 )

(α + β ) + γ = α + ( β + γ )

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

(3) 零元素 ) 在 V 中存在一个元素 0 ,使得对 于任意的 α ∈ V 都有

α +0 =α(4) 负元素 ) 对于 V 中的任意元素 α 都存 在一个元素 β 使得

α+β =0

负元素. 则称β 是 α 的 负元素 (5) 数 1 )

1α = α

矩阵理论第一章 线性代数相关

第2章 矩阵

授课序号01 a ??

，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为()n a ??.

12n n nn a a a ??

11212212

000n n nn a a a a a a ?? ? ???与上三角矩阵00nn a ??2000n λλ??????，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=λλλ.

0000a a a ??????

，简记为10

001

01? ??)?ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当，而关于主对角线对称的元素互为相反数

授课序号02 ()a =A 122

m m m mn mn b a b a b ?+++?矩阵，则

mn n

a x ++经过线性计算得到了m 线性变换的系数a

sj b ???第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有A B C =次多项式.

1

2m m mn a a a ??12n n mn a a a ??

A 的转置矩阵,记作T A . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T T A A =； (2)(A +12m m A A A =?为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵. 12n n

nn A A A ?

线性代数《矩阵》相关习题

《线性代数》第二章练习题

102

9、设A是4 3矩阵且r(A) 2，B 020

，则r(AB)

103

一、填空题

10、设A 100

220

，则(A ) 1 1、设A 12 3 2 T

13 ，B 21

，则；；B 345

300 2、设矩阵A 15 13 B 31

则3A B ，11、设A 140

，则(A 2I) 1

， 20 ，

A 1B

。

003

3、设A为三阶矩阵，且A 2，则2A* A 1

5200

4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=______，|2A|=_____

12、设A 2

100

001 2 ，则A 1

3、设A 120 340 23 1 ABT

00

11

，B 121

240

，则= 13、已知A为四阶方阵，且A

1

112

，则(3A) 1 2A 4、设A 1 225

，且r(A) 2，则t

11t 214、设 A

3

,A2 _________，An=_________

1233 03 12 4

5、若

大学课程线性代数期末复习

第一章:行列式

1. 二阶和三阶的求解。

2. n级排列有n!个，12…为自然序排列。

3. 求一个排列中的逆序数。

4. 上，下，和对角型行列式的求法。

5. n级排列中奇排列和偶排列个数相等，各为n!/2个。

6. 行标自然排列，求列标组成排列的逆序数，从而判断行列式某几项乘积前应带的正负号（偶排列为正，反之为负）P9页上。

7. 行列式的性质：

（1）行列式与他的转置行列式相等（行列互换为转置行列式）。

（2）行列式可按行或者列提取公因式。

（3）数K与行列式相乘等于与行列式的某行或者某列的所有元素都乘以K。

（4）交换行列式的两行或者两列，行列式变号。

（5）行列式中两行或者两列的元素对应相等或者成比例，则行列式值为零。

（6）行列式的某一行或者列元素乘以K加到另一行或者列的对应元素上，行列式的值不变。

（7）行列式转换为三角形行列式时（便于计算行列式的值），行列转换可以混着用。

8. 余子式和代数余子式有区别P18

9. 行列式等于任意一行或者列的每个元素与其代数余子式的乘积之和。

10.行列式中某行或者列的各个元素与另一行或者列的对应元素的代数余子式的乘积之和

等于零。

11.克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组与齐次线性方程组有区别。

（2）搞清

第一章 线性代数复习与引深

第一节 行列式性质与矩阵求逆

一、 行列式性质

1、 若行列式A的某行（或列）为零，则行列式A为零； 2、 ?A??nA,?为常数；

3、 若行列式A的某两行（或某列）对应成比例，则行列式A为

零；

4、 若行列式A的某两行（或某列）互换，则所得行列式=—A； 5、

AT?A；

6、 若行列式A的某一行（或某一列）乘上一个常数加到另一行

（或列）相应的元素上，则所得行列式=A； 7、 若A1,A2,?,Ak是n阶方阵，则A1A2?Ak??Ai；

i?1k8、

A110A12A22?A11A210A22?A11A22，其中A11,A22为方阵；

9、 若ATA?AAT?I，则A??1；

10、 若A为三角阵（上三角、下三角），则A??aii；

i?1n11、 A??aijAij??aijAij；

j?1i?1nn12、 设Ap?q,Bq?p，Ip?AB?Iq?BA。 证 Ip?AB?IqIp?AB?注

1?a1?a。 ?b101?abIpB?AIq?IqIP?BA?Iq?BA

二、矩阵求逆

1、定义 AB?BA?I； 2、判定 A?0； 3、求逆 A?1?1*1A?(Aij)T； AA (A?I