圆的切线的证明与计算

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

2014.12.26圆的切线证明

1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

（2011中考）2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=

3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

1

E4 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

D

5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线

CP

1,求sin∠E. 2OB

6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.

7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

A8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC

圆的证明与计算

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切

2016中考数学圆的证明与计算 专题

1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D． （1）求证：∠DBA=∠ABC；

1

（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

2

E

C

2．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点， CDB BFD．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

4

（2）若sinC ，AC=6，求⊙O的直径．

5

C

4．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥AB于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=30°. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2

）若AB 求⊙O的半径．

5．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，

连接AD． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若

BC=4 ，求AD的长．

6．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

圆与切线相关练习题

1、如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．

2、∠BAC的平分线AD交△AEF的外接圆⊙O于D,BC∥EF,求证：BC是⊙O的切线

3、已知如图,P为圆O外一点,PO交圆O于C,弦AB=PO于E,∠EAC=∠CAP, 求证:PA是圆O的切线

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4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E。求证：BE=CE。

5、如图所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且弧CD=弧BD，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．

6、如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O 的切线.

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7、如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AE⊥CE于E． 求证：∠BAC=∠EAC；

8、如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，?EBC?于点D，交EB于点F.求证：BC与⊙O相切；

1?BAC，以AB为直径的⊙交AC2

9、如图,在△ABC中,AC

圆的切线与椭圆相交的问题设计集锦 已知过点M(m,0)(m 1)的直线l与 O:x2 y2 1相切,与椭圆x2 4y2 4交于A,B两点.请同学们根据以上条件设计一个问题并求解.

同学们设计的问题集锦:

1.求弦AB中点的轨迹方程.

2.求MA MB的取值范围.

3.求弦AB的长度的最大值. (求弦AB的长度关于m的表达式.)

4.是否存在实数m,使得 OAB是等腰三角形？若存在,求m的值；若不存在,请说明理由.

5.求实数m,使得 OAB的面积S取得最大值. (求 OAB的面积S的取值范围.)

6.若F是椭圆的左焦点,求 FAB的面积S的取值范围.

7.求OA OB的取值范围.

8.求tan AOB的取值范围. (求实数m的值,使得 AOB最大.)

9.是否存在实数m,使得OA OB(或OA OB 0)？若存在,求m的值；若不存在,请说明理由.

10.若直线l与 O相切的切点为P,是否存在实数m,使得AP PB 1？若存在,求m的值；若不存

在,请说明理由.

11.若直线l与 O相切的切点为P,求直线OP斜率k关于m的表达式.

12.是否存在实数m,使l与 O的切点P三等分AB？若存在,求m的值；若不存

圆的切线判定复习说课稿

《圆的切线的判定复习》说课稿

尊敬的各位评委、老师们：大家好！

我现任教初三数学学科，非常荣幸也倍感珍惜能有样一个与大家交流、学习的机会。今天我说课的题目是：《圆的切线判定的复习》，本课内容选自人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第24章《圆》，下面我从六个方面分别说明我对本这节课的教学设想． 一、教学背景分析： 1、考试说明的具体要求是： A B C 了解直线和圆的位 能判定直线和圆的位置关 能解决与置关系，了解切线的概系；会根据切线长的知识解决简切线有关的问直线和圆念，理解切线与过切点单的问题；能利用直线与圆的位题 的位置关的半径的关系；会过圆置关系解决简单的问题 系 上一点画圆的切线；了解切线长的概念 2、教学内容的分析与选择：

圆的切线判定是在学习了直线与圆的三种位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而做准备。切线题目中常常蕴含着转化、方程等数学思想，同时与圆的其它定义和性质、及解直线型问题紧密相关，为此本节课我重点选择了切线的判定证明题的复习。 3、学情分析：

（1）学生已有的知识经验：学生已经复习了解直线型问题，掌握了解直线型问题的方法，特别是复习了圆

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l