圆的切线长定理
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切线长定理(用)
切线长定理
数学探究 如图,纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线,沿 着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B。 A 问题: 1.OB是⊙O的一条半径吗?
OP B
2.PB是⊙O的切线吗?3.PA、PB有何关系?
4.∠APO和∠BPO有何关系?
数学探究 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A 你能证明吗? O P 用数学语言怎 么表达? B
· ·
·
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相 等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理
数学探究 思考:连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系? 为什么? 你还能得出什么结论? A
· O ·EB
·
P
随堂训练 如图,AC为⊙O的直径,PA、PB分别切⊙O于 点A、B,OP交⊙O于点M,连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°,则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系,并给予证明。
AO P
M B
C
数学探究 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆 形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? A
B C
数学探究 三角形的内切圆: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心
切线长定理练习题
1.下列说法中,不正确的是 ( )
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2.给出下列说法:
①任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; ③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆; ④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形. 其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于 ( ) A.21 B.20 C.19 D.18
4. 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,AC是⊙O的直径,连结AB、BC、OP,
则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A.1个 B.2个
24.2.2直线与圆的位置关系之切线长定理
蓬莱大辛店中学
徐岩
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:
.
O
∵L是⊙O的切线 , ∴OA⊥L
L A
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
.
O
LA
1.经过半径的外端; 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A
L是⊙O的切线.
练习1:已知:AB是弦,AD是切线 ,判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E
C A D
在经过圆外 一点的切线 上,这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长
A
· O
P
切线与切线长的区别 与联系:
B
(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量; (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线,它们的切线长相 等,圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
B。
O
P A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
我们学过的切线,常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点;
性质:
2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂
切线长定理练习题
《切线长定理》预习案
1.已知:如图,在三角形ABC中,内切圆O与△ABC的三边分别切于D,E,F三点,∠DFE=56°,求∠A得度数。
2、圆外切四边形的两组对边的和相等.
已知:如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N,P.求证:AB+CD=AD+BC.
3、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线, A和B是切点,BC是直径. 求证:AC∥OP.
《切线长定理》检测案
1、在△ABC中,AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F,求 AF、 BD 、CE的长?
2、如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为
AFD、E、F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径EOr.
B
DC
3、如图,△ABC中,∠ ABC=50°,∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心,求∠ BOC的度数。
AOBC
4、一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
ABC
2019中考数学专题练习-圆的切线长定理(含解析)
2019中考数学专题练习-圆的切线长定理(含解析)
一、单选题
1.如图,△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片,BC=5cm,⊙O是它的内切圆,小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的
周长为( )
A. 12cm B. 7cm C. 6cm D. 随直线MN的变化而变化 2.下列说法正确的是( )
A. 过任意一点总可以作圆的两条切线 B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
3.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D.若⊙O的半径
为1,△PCD的周长等于2 A.
,则线段AB的长是( )
D. 3
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
如果圆的半径是r,这个点到圆心的距离为d,那么:
(1)点在圆外?d>r; (2)点在圆上?d=r; (3)点在圆内?d<r;
2、直线与圆位置关系的定义及有关概念
(1)直线与圆有两个公共点,叫做直线与圆相交,这直线叫做圆的割线,公共点叫做交点. (2)直线和圆有一公共点时,叫做直线和圆相切,这直线叫做圆的切线,公共点叫做切点. (3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么 (1)直线l和⊙O相交?d<r; (2)直线l和⊙O相切?d=r; (3)直线l和⊙O相离?d>r;
典例精析
例1:已知直线l:y=x-3和点A(0,3),B(3,0),设P点为l上一点,试判断P、A、
B是否在同一个圆上?
例2:下列说法正确的是( )
A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切,则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点,直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点,则公共点是切点
ACDB例3:设直线l到⊙O的圆心的距离为d,⊙O的半径为R,并使x?2dx?R?0,试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
如果圆的半径是r,这个点到圆心的距离为d,那么:
(1)点在圆外?d>r; (2)点在圆上?d=r; (3)点在圆内?d<r;
2、直线与圆位置关系的定义及有关概念
(1)直线与圆有两个公共点,叫做直线与圆相交,这直线叫做圆的割线,公共点叫做交点. (2)直线和圆有一公共点时,叫做直线和圆相切,这直线叫做圆的切线,公共点叫做切点. (3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么 (1)直线l和⊙O相交?d<r; (2)直线l和⊙O相切?d=r; (3)直线l和⊙O相离?d>r;
典例精析
例1:已知直线l:y=x-3和点A(0,3),B(3,0),设P点为l上一点,试判断P、A、
B是否在同一个圆上?
例2:下列说法正确的是( )
A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切,则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点,直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点,则公共点是切点
ACDB例3:设直线l到⊙O的圆心的距离为d,⊙O的半径为R,并使x?2dx?R?0,试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l
2018届九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理教案
*
2.5.3 切线长定理
形,∴AB=PA=10.故选A. 方法总结:切线长定理是判断线段相等的主要依据,在圆中经常用到.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用切线长定理求三角形 的周长 如图,PA、PB分别与⊙O相切于
点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点
1.理解和掌握切线长定理;(重点) 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明.(难点)
一、情境导入
有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
E、F,切点C在AB上.若PA长为2,则△PEF的周长是________.
︵
教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点,连接OB,OA,则四边形OAPB是正方形,所以,圆的半径为A点或B点的刻度,PA=PB.
如果这根尺子的夹角不是90°,是否还能得到PA=PB?
二、合作探究
探究点:切线长定理及应用
【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图,从⊙O外一点P引圆的两条
切线PA、PB,切点分别是A、B,如果∠APB=60°,线段PA=10,那么弦AB的长是( )
解析:
圆切线证明的方法
切线证明法
一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30o.求证:DC是⊙O的切线.
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是⊙O的切线.
【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.
【例4】 如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?为什么?
A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:DE是⊙O的切线.
【例6】 如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.
【例9】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交B
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理学案
XX 学校--用心用情 服务教育!
用心用情 服务教育 1 精品基础教育教学资料,请参考使用,祝你取得好成绩!
第3课时 切线长定理
学习目标:
1. 理解切线长的定义;
2. 掌握切线长定理,并能灵活运用切线长定理解题。
学习重点:切线长定理的理解
学习难点:切线长定理的应用
学习过程:
一、知识准备:
1. 直线与圆的位置关系有哪些?怎样判定?
2. 切线的判定和性质是什么?
3. 角的平分线的判定和性质是是什么?
二、引入新课:
过圆上一点可以作圆的几条切线?那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢?
三、课内探究:
(一)探究切线长的定义:
如下图,过⊙O 外一点P ,画出⊙O 的所有切线。
?
P
引出定义:过圆外一点,可以作圆的______条切线,这点与其中一个切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
跟踪训练:判断
1. 圆的切线长就圆的切线的长度。( )
2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。( )
(三)探究切线长定理:
XX学校--用心用情服务教育!
用心用情服务教育
2
O
B
A
P
如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线,试指出图中相等的量,并证明。
切线长定理:过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。
该定理用数学符号语言叙述为:
∵
∴
跟踪训练:
1. 如