复变函数的课堂笔记

第二章 解析函数

一、复变函数的导数及微分 1、导数的定义 2、可导与连续 3、求导法则

实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来 4、微分的概念

与一元实变函数的微分概念完全一致

二、解析函数的概念 1、解析函数的定义

如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。

如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。或称f（z）是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 2、奇点的定义

如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。

根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。 定理

（1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。

（2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f（h）在h平面上的区域G内解析。如果对于D内的每个点z，函数g（z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。 根据定理可知：

（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。

（2）任

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一） 判断题（20分）

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.(

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

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华南理工大学期末考试

2013《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 6大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 总分 1.填空题。(每题5分，合计30分)

（1）求 (1?i)的所有的值：

?2k??2k???62?cos(?)?isin(?)?,k?0,1,2

123123?? （2）函数w?(x2?5)?ixy 在如下范围内可导：

(0,0)

（3）在映射w?z3下，区域|w|?3， 0?argw? 21125z?33,argz?(??,??

复变函数习题集

第二章 解析函数

一、 判断题

（1）设f(z)为解析函数，则f(1/z)也是解析函数。

（2）设f(z)和g(z)均为解析函数，则f(g(z))也是解析函数。 （3）设f(z)和g(z)均为解析函数，则5f(z)?ig(z)也是解析函数。 （4）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （5）若f(z),f(z)均在区域D内解析，则f(z)在区域D内为常数. (6 ) 指数函数ez是以2?i为周期的函数。 （7）sinz在整个复平面上有界.

( 8 ) 对任意复数z?0,?, Ln(?z)?Lnz。 二、 选择题

1．设f(z)和g(z)均为解析函数，下列命题错误的是（ ） （A）f3(z)是解析函数 （B）f(z)g(z)是解析函数 （C）

f(z)是解析函数 （D）g(z2?2)是解析函数 g(z)

2．函数f(z)?x2?iy2在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 3．假设点z0是函数f(z)的奇点，则函数f(z)在点z0处(

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i??1.

2 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；

2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是

位于(??,?]中的幅角。

3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下： 当x?0, argz?arctanyx；

?y?0,argz?y 当x?0,??arctan?x???y； ??y?0,argz?arctanx??4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+” 5）指数表示：z?zei?，其中??argz。 (二) 复数的运算

1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：

1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

z1x?iy?x?iy1??x?i?yx?xyy?y1x2yz?11?iy?1222?x?2i??y?1212