定积分及其应用测试题

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在

咸阳师范学院

毕业论文(设计)文献综述

题目：定积分及其应用

学生姓名：马永升

系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳

1

定积分及其应用

摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定

积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学

极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

1?2?n?1???sin?]的值。 例如：求lim[sin?sinn??nnnn1?2?n?1???sin?]= 解 lim[sin?sinn??nnnn10??2?n?1lim[sin?sin?sin???sin?]?n??nnnnnn?11i lim?sin??

n??nni?0n?11lim?f(?i).?1?n??ni?0（1） 式是函数f（x）=sinx?在区间[a,

咸阳师范学院

毕业论文(设计)文献综述

题目：定积分及其应用

学生姓名：马永升

系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳

1

定积分及其应用

摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定

积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学

极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

1?2?n?1???sin?]的值。 例如：求lim[sin?sinn??nnnn1?2?n?1???sin?]= 解 lim[sin?sinn??nnnn10??2?n?1lim[sin?sin?sin???sin?]?n??nnnnnn?11i lim?sin??

n??nni?0n?11lim?f(?i).?1?n??ni?0（1） 式是函数f（x）=sinx?在区间[a,

定积分及其应用习题课

n1．求极限：limn??n!； n2．设f(x)为[0,a]上的非负单调增加的连续函数，又x?g(y)是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：

?a0f(x)dx??f(a)f(0)g(y)dy?af(a)。

x???3．设f(x)为[0,??)上的单调增加的连续函数，f(0)?0，limf(x)???，又x?g(y) 是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的a?0,b?0，总有

?a0f(x)dx??g(y)dy?ab，并进一步说明等号成立的条件。

0b4．设f(x)在[a,b]恒正，f?(x)?0，f??(x)?0，将下列积分值按大小顺序排列： I1???[f(a)?abbbf(b)?f(a)(x?a)]dx，I2??f(x)dx，I3??f(a)dx。

aab?a5．计算

?201?sin2xdx。

6．计算

?x|x?a|dx 。

017．设f(x)??x02e?y2?2ydy，求?(x?1)2f(x)dx。

018．设f(x)?x?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)。

019．设f(x)及其反函数g(x)都可微且有关系式 10．求多项式 f (x) 使它满足方程11．

定积分及其应用习题课

n1．求极限：limn??n!； n2．设f(x)为[0,a]上的非负单调增加的连续函数，又x?g(y)是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：

?a0f(x)dx??f(a)f(0)g(y)dy?af(a)。

x???3．设f(x)为[0,??)上的单调增加的连续函数，f(0)?0，limf(x)???，又x?g(y) 是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的a?0,b?0，总有

?a0f(x)dx??g(y)dy?ab，并进一步说明等号成立的条件。

0b4．设f(x)在[a,b]恒正，f?(x)?0，f??(x)?0，将下列积分值按大小顺序排列： I1???[f(a)?abbbf(b)?f(a)(x?a)]dx，I2??f(x)dx，I3??f(a)dx。

aab?a5．计算

?201?sin2xdx。

6．计算

?x|x?a|dx 。

017．设f(x)??x02e?y2?2ydy，求?(x?1)2f(x)dx。

018．设f(x)?x?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)。

019．设f(x)及其反函数g(x)都可微且有关系式 10．求多项式 f (x) 使它满足方程11．

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

高二数学周六（导数、定积分）测试题

（考试时间：100分钟，满分150分）

班级 姓名 学号 得分

一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)

1. 已知函数f(x)=ax2＋c,且f?(1)=2,则a的值为 （ ） A.1

B.2 C.－1 D. 0

2. 已知函数f(x)在x?1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为 （ ） A．(x-1)3+3(x-1) B．2(x-1)2 C．2(x-1) D．x-1 3. 已知函数f(x)在x?1处的导数为1，则

limx?0f(1?x)?f(1?x)= ( )

3x213A．3 B．? C． D．?

3323

4. 函数y=(2x＋1)在x=0处的导数是 （ ） A. 0 B. 1 C.

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

第五节

定积分的应用

一、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形的面积 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x = a, x = b

(a<b)及 x 轴所围成的平面图形的面积ydxy f ( x)

微元法：面积元素 dA f ( x ) dxx

a o

x

面积

b

A f ( x ) dxa1

b

若f (x)有正有负，则曲边梯形面积为

A | f ( x ) | dxya

b

y f ( x)y | f ( x) |

a o

b

x

X—型平面图形的面积由连续曲线 y f ( x ) , y g( x ) ,直线 x a, x b(a b)

所围成的平面图形的面积：y

若 f ( x ) g( x ) ,

y f ( x)

y g( x )

a o

x x dx

b

x

面积元素: dA [ f ( x ) g( x )] dx ,

A [ f ( x ) g( x )] dxa

b

一般地，

y

y f ( x)

y g( x )

a ob

c

b

x

A | f ( x ) g( x ) | dxa4

Y—型平面图形的面积 由曲线 x ( y ) 0 、直

第五节

定积分的应用

一、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形的面积 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x = a, x = b

(a<b)及 x 轴所围成的平面图形的面积ydxy f ( x)

微元法：面积元素 dA f ( x ) dxx

a o

x

面积

b

A f ( x ) dxa1

b

若f (x)有正有负，则曲边梯形面积为

A | f ( x ) | dxya

b

y f ( x)y | f ( x) |

a o

b

x

X—型平面图形的面积由连续曲线 y f ( x ) , y g( x ) ,直线 x a, x b(a b)

所围成的平面图形的面积：y

若 f ( x ) g( x ) ,

y f ( x)

y g( x )

a o

x x dx

b

x

面积元素: dA [ f ( x ) g( x )] dx ,

A [ f ( x ) g( x )] dxa

b

一般地，

y

y f ( x)

y g( x )

a ob

c

b

x

A | f ( x ) g( x ) | dxa4

Y—型平面图形的面积 由曲线 x ( y ) 0 、直