两角和与差的余弦正弦正切公式

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案

自主梳理1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π

2，k∈Z)

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)

考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式

1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考） 若cos(??)?的值是______.

【考点】二倍角的余弦，三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is，则23?)?π67 9π31， 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.

3922. （15泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．

（1）求sin（α+

π）的值； 4????????（2）若P关于x轴的对称点为Q，求OP?OQ的值．

【考点】 平面向量数量积的运算；两角和的正弦函数． 【解】（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴sin??43，cos??…（4分） 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2．…（7分） 4?44525210?（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，

（3，?4）∴Q．…（9分）

????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4)，

????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7． …（14分

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

疱工巧解牛

知识?巧学

一、两角和的余弦公式

1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.

2.用两点间的距离公式推导C(α+β).

图3-1-5

如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,

三 角 计 算 及 其 12.2.3两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用

一、基础知识回顾请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin

两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan

二、典型例题剖析2

例1.(1)设 tan ,tan 是方程x 3 3 x 4 0的两根,且 4 , , ,则 + __________; 3

三 角 计 算 及 其 12.2.3两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用

一、基础知识回顾请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin

两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan

二、典型例题剖析2

例1.(1)设 tan ,tan 是方程x 3 3 x 4 0的两根,且 4 , , ,则 + __________; 3

两角和差的正弦余弦正切公式练习题

一、选择题

1．给出如下四个命题

①对于任意的实数α和β，等式cos(???)?cos?cos??sin?sin?恒成立； ②存在实数α，β，使等式cos(???)?cos?cos??sin?sin?能成立；

???)?tan??an?成立的条件是??k???(k?Z)且?③公式tan(?k???(k?Z)；

1?tan??tan?22④不存在无穷多个α和β，使sin(???)?sin?cos??cos?sin?； 其中假命题是

（ ）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②③④ 2．函数y?2sinx(sinx?cosx)的最大值是

（ A．1?2 B．2?1

C．2

D． 2 3．当x?[??2,?2]时，函数f(x)?sinx?3cosx的

（ ）A．最大值为1，最小值为－1 B．最大值为1，最小值为?12 C．最大值为2，最小值为－2 D．最大值为2，最小值为－1

4．已知tan(???)?7,tan??tan??23,则cos(???)的值 （ ）A．12 B．

2．?222 C2 D．?2 5．已知

?2?????34?,cos(???)?1213,sin(???)??3

●高考明方向

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式

推导出两角差的正弦、正切公式．

3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系.

★备考知考情

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 进行化简、求值是高考考查的热点．

2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合 命题．

3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P52 知识点 1、（补充）两角差的余弦公式的推导

1

利用向量的数量积推导----必修4 课本P125 2、（补充）公式之间的关系及导出过程

3、和、差、倍角公式《名师一号》P52

注意：

《名师一号》P53 问题探究 问题1

两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？ 其适用条件是什么？ π

在公式T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋

2

(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；

2

π

若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

2

小结：

一、公式的逆用与变形运

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

一、知识要点：

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(???):sin(???)?sin?cos??cos?cos?； (2)C(???):cos(???)?cos?cos??sin?sin?； (3)T(???):tan(???)?tan??tan?.

1?tan?tan?2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S(2?):sin2??2sin?cos?α；

(2)C(2?):cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?； (3)T(2?):tan2??22222tan?.

1?tan2?3．常用的公式变形

(1)tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)； (2)cos??21?cos2?1?cos2?； ,sin2??2222(3)1?sin2??(sin??cos?),1?sin2??(sin??cos?),sin??cos??4．函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数),可以化为f(x)?2sin(??).

4?a2?b2sin(x??)?a2?b2cos(x??),其中

?(?)可由a,b的值唯一确定．

两个技巧

(1)

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（2）

教学目的：

能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 教学重点： 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式 教学难点： 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．两角和与差的余弦公式:

cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?

2．求cos75?的值

解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?

=

23216?2 ????222243．计算：cos65?cos115??cos25?sin115?

解：原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1 4 计算：?cos70?cos20?+sin110?sin20?

原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 5．已知锐角?,?满足c

考点

16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

一、选择题

1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知sin2??，则cos2(??（ ）

A. B. C. D.

【解题指南】利用“降幂公式”将cos2(??)化简，建立与sin2?的关系，可

41613122323?4)??得结果.

【解析】选A.因为cos2(??)??1?cos2(???4221??1?sin2?3?1，选A. 所以cos2(??)??4226?2)1?cos(2??)?4?2?1?sin2，

22?2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin?23133，则cosa=（ ） 323A.? B.? C.错误！未找到引用源。 D. 【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.cos??1?2sin2?=1?2=1.

2333（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数f?x?=cosxsin2x, 下列结论中错误的是（ ） A．y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 B.y?f?x?的图像关于x?对称

2?C.f?