高中最优解问题

摘要

本文主要研究最佳旅游路线的设计问题。在满足相关约束条件的情况下，花最少的钱游览尽可能多的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，建立数学模型，设计出最佳的旅游路线。

我们根据现有资料以及网上搜集出的资料，对环鄱阳湖城市群中各城市现有的旅游资源和特色进行了概括，然后根据当地政府出台的相关政策和发展方向，从中提出了环鄱阳湖城市群开发旅游新项目，如以军山湖为代表，开发成“生态旅游休闲度假湖”；以以古名人文化旅游资源为代表开发“一条古街”等新项目。

结合现有旅游资源主要研究最佳旅游路线的设计问题，以运筹学中最优化理论和图论的相关知识为基础，建立了基于改进的蚁群算法求最短路线的优化模型。利用Lingo优化软件对模型进行了优化求解，得出了较为合理的旅游路线。解决了旅游中如何实现最经济、最省时的两大问题。

通过对发展鄱阳湖旅游产业的分析，提出了重点建设环鄱阳湖生态城市群的一些想法，并就鄱阳湖生态旅游圈的开发建设给有关政府开发旅游规划提出了相应的建议。

本文思路清晰，模型恰当，结果合理.图文并茂，这样给处理数据带来了不少的方便，一目了然。本文成功地对0—1变量进行了使用和约束，简化了模型建立难度，并且可方便地利用数学软件进行求解。此外，本文建立的模型

巧解圆中的最值问题

求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型

如图1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B、C两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为

AO?半径，最大值为AO+半径.

类型1 定点定长定圆

例1 如图3，在?ABC中，?ACB?90?，?ABC?30?，将?ABC绕顶点C顺时针旋转，得到?MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC?2，连结PQ，则旋转时PQ长度的最大值是( ).

(A) 26 (B) 23 (C)

6 (D) 3

分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运 动轨迹.在这里，可以利用点Q是Rt?MNC斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等 于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC?CQ'?3，所以选D.

例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函

3, optimum problem

maxU(x1,x2)?x1x2

22{x1,x2}s.t. 3x1?2x2?12,x1?0,x2?0

求U的最大值，并证明其存在性和唯一性。 解：

1，效用函数U为指数形式，可以取对数来求其最值。

记 V?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2 （这里的log 是自然对数） 写出lagrange 函数L?2logx1?2logx2??(12?3x1?2x2) K－T条件：

?L?x1?L?x2?L???2x12x2?3??0,

??2??0,

?L???12?3x1?2x2?0,??0,???(12?3x1?2x2)?0

分析K－T条件： 1，??0，矛盾。舍去 2，??13?0,x1?2,x2?3，

2222maxV?2log2?2log3 maxU?x1x2?2*3?36

充分性证明：V(x1,x2)?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2， 写出海赛矩阵，判断最值。 ?V?x1?V?x2?2,?V22x1?x122??2x12,?V?x1?x2,?V?x1?x222?0

?x2?x2,?V2??2x22?0

??2V?2?x海赛矩阵为：?21??

第15题 圆的计算

1.如图，⊙O的半径为2，P为⊙O内一点，OP=1，过P点的弦与劣弧AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为（ ） A .

4?8?2?4?-3 D. -3 ?3 B.?3 C. 3333

2.如图，AB为⊙O的直径，定长弦CD在⊙O上滑动（点C、D不与A、B重合），CE⊥AB于E，N是CE的中点，M是CD上一点，且DM=3CM，若AB=10，则MN的长度的最小值为 ．

3.如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 ．

ｏｏ

4.如图，△ABC内接于半径为2 的⊙O，∠ABC=45，∠ACB=60，点D为弧AB的中点，M、N分别是线段CD、AC上的动点，则MA+AN的值的最小值是（ ） A .

33 B. 26 C. 22 D. 2?3

5.如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一

实验七.规划问题

一.实验目的：

学会用matlab优化工具箱求解线性规划、非线性规划。

二.实验原理与方法

Matlab优化工具箱简介

1. MATLAB求解优化问题的主要函数

类 型 一元函数极小 无约束极小 线性规划 二次规划 约束极小 （非线性规划） 达到目标问题 极小极大问题

模 型 Min F（x）s.t.x1

见下表: 变量 f fun H A,b Aeq,beq vlb,vub 描 述 线性规划的目标函数f*X 或二次规划的目标函数X’*H*X+f*X 中线性项的系数向量 非线性优化的目标函数.fun必须为行命令对象或M文件、嵌入函数、或MEX文件的名称 二次规划的目标函数X’*H*X+f*X 中二次项的系数矩阵 A矩阵和b向量分别为线性不等式约束：AX?b中的系数矩阵和右端向量 Aeq矩阵和beq向量分别为线性等式约束： Aeq?X?beq中的系数矩阵和右端向量 X的下限和上限向量：vlb≤X≤vub 调用函数 linprog,quadprog fminbnd,fminsearch,fminunc, fmincon,lsqcurvefit,lsqnonlin, fgoalattain,fminimax

谢谢主席，大家好

对方辩友今天谈了三分钟的最优解，但却没告诉我们这个世界上存在哪些问题，没有问题就谈解，大家不觉得很荒谬吗？其实，世界的问题主要有三大类，即人和自我的矛盾、人和人的矛盾、人和环境的矛盾，归根结底，这个世界的问题就是如何让世界更美好。

开宗名义，科学是人类探索研究事物变化规律的知识体系的总称，其基本的三大属性一是具有实证性，即可被验证和实践，二是具有自洽性，即其内部体系不相悖，三是具有客观性，即不以人的意志为转移。所以，今天所谓科学不包括文学、艺术学、哲学等学科。我方认为，相较于科学，真善美是能够让世界更美好的一套方法论。所谓真，即真理和真相，善和美即是普适的伦理道德观和审美观。真善美不是三者简单相加，而是一个相辅相成，相互制衡的整体，一旦事物违背了真、善、美其中任意一项，那么它就剥离了真善美的体系。这种方法论落实到具体情况，则是以此为指导，通过践行真善美去解决问题。

则是下面我方将从三大矛盾出发进行论述:

首先，面对人与自我的矛盾时，科学能够解决的只有一部分好奇心，可人还会自卑会迷惘，会自负也会失落，而这些，都是科学束手无策，真善美却能解答的问题。或许科学满足了我们对宇宙对世界的疑问，可是却无法在我们为情所困，为扶不扶犹豫，为

谢谢主席，大家好

对方辩友今天谈了三分钟的最优解，但却没告诉我们这个世界上存在哪些问题，没有问题就谈解，大家不觉得很荒谬吗？其实，世界的问题主要有三大类，即人和自我的矛盾、人和人的矛盾、人和环境的矛盾，归根结底，这个世界的问题就是如何让世界更美好。

开宗名义，科学是人类探索研究事物变化规律的知识体系的总称，其基本的三大属性一是具有实证性，即可被验证和实践，二是具有自洽性，即其内部体系不相悖，三是具有客观性，即不以人的意志为转移。所以，今天所谓科学不包括文学、艺术学、哲学等学科。我方认为，相较于科学，真善美是能够让世界更美好的一套方法论。所谓真，即真理和真相，善和美即是普适的伦理道德观和审美观。真善美不是三者简单相加，而是一个相辅相成，相互制衡的整体，一旦事物违背了真、善、美其中任意一项，那么它就剥离了真善美的体系。这种方法论落实到具体情况，则是以此为指导，通过践行真善美去解决问题。

则是下面我方将从三大矛盾出发进行论述:

首先，面对人与自我的矛盾时，科学能够解决的只有一部分好奇心，可人还会自卑会迷惘，会自负也会失落，而这些，都是科学束手无策，真善美却能解答的问题。或许科学满足了我们对宇宙对世界的疑问，可是却无法在我们为情所困，为扶不扶犹豫，为

第35卷第1期2005年1月

数学的实践与认识

Vol.35　No.1　

Jan.,2005　

确定线性规划全部最优解的方法

薛声家,　左小德

(暨南大学管理学院,广东广州　510632)

摘要:　使用凸多面体的表示定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,并基于单纯形法,给出最

优解唯一性条件以及当唯一性条件不满足时求出全部最优解的计算步骤,同时附有数值例子.

关键词:　线性规划;凸多面体;最优解;单纯形法

一般说来,实际上的经济管理问题所形成的线性规划的最优解给出了该实际问题的最佳实施方案.当线性规划有不止一个最优解时,便存在无穷多个最优解,求出线性规划的多个最优解是件很有意义的工作,因为它可以提供更多的最优方案供决策者选择.目前虽有不少文献对线性规划无穷多个最优解的情况进行了讨论,但有些存在错误和缺陷[1,2],另一些则讨论得不够完整、深入,缺乏详细有效的求解方法.本文使用凸多面体的表示(分解)定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,给出确定全部最优解的计算步骤,并附有数值例子.

1　线性规划最优解的一般表达式

考虑标准型线性规划问题:

Maxz=cTx

(SLP)s.t.Ax=b

xE0

　　其中,A为m×n阶矩阵,c和x为n维列向量,b为m维列

图论最短路径问题 在消防选址中的应用

【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路

安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。

【关键词】 最短路径；Floyd算法；消防

1 引言

图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念

2.1 图的定义

有序三元组G?(V,E,?)称为一个图，其中：

(1)V?(V1,V2,?,Vn)是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E称为边集，其元素叫做图的边；

(3)?是从边集E

第一章 最优化问题总论

无论做任何一件事，人们总希望以最少的代价取得最大的效益，也就是力求最好，这就是优化问题．最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目标．这是最简单的最优化问题，实际优化问题一般都比较复杂．

概括地说，凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题．作为最优化问题，一般要有三个要素：第一是目标；第二是方案；第三是限制条件．而且目标应是方案的“函数”．如果方案与时间无关，则该问题属于静态最优化问题；否则称为动态最优化问题．

§1.1 最优化问题数学模型

最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯上又称之为经典极值问题．

例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与此相应的水槽容积为

f(x)?(a?2x)2x．

令

f'(x)?2(a?2x)(?2)x?(a?2x)2?(a?2x)(a?6x)?0，

得两个驻点：

x?