圆的综合计算与证明

数学专题之【以圆为基础】精品解析

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中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析【100题精选】

例1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．

（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；

（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；

（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．

P P

D A D A A D Q

O1 O1 O1 E O2 O2 O2 E

B C B F C B C F F

（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点 ∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1 ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

圆的证明与计算

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切

2016中考数学圆的证明与计算 专题

1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D． （1）求证：∠DBA=∠ABC；

1

（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

2

E

C

2．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点， CDB BFD．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

4

（2）若sinC ，AC=6，求⊙O的直径．

5

C

4．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥AB于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=30°. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2

）若AB 求⊙O的半径．

5．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，

连接AD． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若

BC=4 ，求AD的长．

6．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取

学科代码：080201

学 号：072302010031

贵 州 师 范 大 学（本 科）

设计说明书

题 目：年产200万吨生铁高炉设计

学 院：材料与建筑工程学院

专 业：冶金工程

年 级：2007级

姓 名：周祥智

指导教师：詹永红（讲师）

完成时间：2011年5月10日

目录

中文摘要 ............................................................................ 4

ABSTRACT ............................................................................ 4

1 高炉炼铁设计概论 .................................................................. 5

1.1设计总介 ..................................................................... 5

1.1.1高炉炼铁的发展现状 .....................................

高炉综合计算系统使用说明书

一、系统简介

高炉综合计算主要有配料计算、物料平衡和热平衡等计算，这是设计高炉时确定物料用量、选择各项生产指标和工艺参数的重要依据，也是全面地、定量地分析和评价高炉冶炼过程及能量利用的一种有效方法。

高炉综合计算系统是采用C++面向对象高级开发语言，在基于windows平台的可视化开发环境Visual C++内开发。系统采用了运行环境简单、转移方便，且不需要安装额外的数据库管理软件的Access数据库作为后台数据库；系统输出也采用了大家广泛采用的Word，输出数据编辑利用都非常方便。

系统界面简洁适用，即使用户不熟悉计算过程，同样能够非常容易地准确得到计算结果。由于系统采用了原料数据的数据库管理，用户只需一次性输入原料数据就可以多次调用，且原料的输入过程采用了成分的自动换算和自动调整，大大减少了用户的数据输入工作量。系统计算非常准确快捷，计算过程完全由计算机按照程序进行计算，完全避免了人为计算错误；在原料数据录入完全的情况下，瞬间就可以完成一次计算，非常方便快捷。因此，本高炉综合计算系统不愧是高炉设计和高炉分析人员的好工具、好助手。

系统功能模块见图1。

管理员用户管理 用户管 理模块 普通用户设置 参数设置模

学科代码：080201

学 号：072302010031

贵 州 师 范 大 学（本 科）

设计说明书

题 目：年产200万吨生铁高炉设计

学 院：材料与建筑工程学院

专 业：冶金工程

年 级：2007级

姓 名：周祥智

指导教师：詹永红（讲师）

完成时间：2011年5月10日

目录

中文摘要 ............................................................................ 4

ABSTRACT ............................................................................ 4

1 高炉炼铁设计概论 .................................................................. 5

1.1设计总介 ..................................................................... 5

1.1.1高炉炼铁的发展现状 .....................................

提分专练(七) 以圆为背景的综合计算与证明题

|类型1| 圆与切线有关的问题

1.[2018·咸宁] 如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作

DE∥AC交BC的延长线于点E.

(1)求证:DE是☉O的切线; (2)若AB=2 ,BC= ,求DE的长.

图T7-1

2.[2018·徐州] 如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°. (1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由. (2)若∠CDB=60°,AB=6,求 的长.

图T7-2

|类型2| 圆与四边形结合的问题

3.[2017·宜昌] 如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB. (1)求证:DE=OE;

(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.

图T7-3

4.[2018·镇江] 如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P与对角线AC交于A,E两点.

(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP

防雷综合计算题

六．计算题

1、某市平均雷暴日为40天，市区有一建筑物高28m，顶部长50m，宽10m，女儿墙高

1m，在其顶上安装一支8m高的避雷针，不设避雷网、避雷带，预计这座建筑物每年可能遭受的雷击次数是多少？能否得到安全保护？ 解：N?kNgAe

Ng?0.024T1.3Ng?0.024?401.3?2.903?)]6?10?6?0.024AeA?[?50?10?2(50?10)28(200?28)?3.14?28(200?28e[LW?2(L?W)?H(200?H)??H(200?H)?10d

又根据 rx?N?1?2.903?0.024?0.07(次/a）h(2hr?h)?hx(2hr?hx)

rx?36(2?60?36)?28(2?60?28)?4.24(m)

答预计这座建筑物每年可能遭受的雷击次数是007次/a，在其顶上安装一支8m高的避雷针不能安全保护该建筑物。

2、某山区工厂，工厂所在地土壤电阻率ρ=1000Ω·m，用接地电阻表测得接闪器工频接地电阻为17．5Ω，引下线接地点到标地体最远端长度为25．3m,计算其冲击接地电阻是否符合规范要求（规定其冲击接地电阻为Ri≤10Ω）？

解：根据

Le?2?

压强与浮力综合计算题 （一）

1、如图所示，放在水平桌面上的薄壁圆柱形容器重6N，底面积100cm2，弹簧测力计的挂钩上挂着重为27N的金属块，现将金属块浸没水中，容器内水面由20cm 上升到30cm（g=10N/kg）．求：

（1）金属块未放入水中时（如图所示），容器底部受到的水的压强： （2）金属块的密度；

（3）金属块浸没水中静止后弹簧测力计的示数； （4）金属块浸没水中后（未于底部接触），容器对桌面的压强．

2、如图14所示，一个重为6牛、容积为V容的圆柱形容器放在水平地面上，容器的底面积S为2×10-2米2。

① 求该容器对水平地面的压强p地面。

② 若在该容器中倒入体积为V水的水后，求水面下0.1米深处水的压强p水。 ③ 若将一个体积为V物的金属物块浸没在水中后，讨论水对容器底部压强增加量的变化范围。（要求：讨论中涉及的物理量均用字母表示）

3、如图18，密度为0.6×103kg/m3、体积为10-3m3的正方体木块，用一条质量可忽略不计的细绳系住，绳的两端分别系于木块底部中心和容器底部中心。细绳对木块的最大拉力为3N。容器内有一定量的水，木块处于漂浮状态，但细绳仍然松软，对木块没有拉力。容器的底面积为0.03 m2。