数论同余性质

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必

考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），

知识点拨：

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

数论之同余定理、个位律

第六讲 数论之同余定理、个位律

射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七挑七数之剩二,问物几何?

战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？ 吗？回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

数论之同余定理、个位律

专题

题型一、余数规律 余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3= 1，5÷3= 2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。

b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3= 2，4÷3= 1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。

如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3= 1，5

第二章 同 余

同余是数论中的一个基本概念。本章除介绍同余的基础知识外，还要介绍它的一些应用。

第一节 同余的基本性质

定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为

a ? b (mod m)，

此时也称b是a对模m的同余。

如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为a??b (mod m)。

定理1 下面的三个叙述是等价的： (ⅰ) a ? b (mod m)；

(ⅱ) 存在整数q，使得a = b ? qm；

(ⅲ) 存在整数q1，q2，使得a = q1m ? r，b = q2m ? r，0 ? r < m。 证明 留作习题。

定理2 同余具有下面的性质： (ⅰ) a ? a (mod m)；

(ⅱ) a ? b (mod m) ? b ? a (mod m)；

(ⅲ) a ? b，b ? c (mod m) ? a ? c (mod m)。 证明 留作习题。

定理3 设a，b，c，d是整数，并且

a ? b (mod m)，c ? d (mod m)， (1)

则

(ⅰ) a ? c ? b ? d (mod m)

同余的性质及应用

1 引言

数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.

在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.

我国古代孙子算经里已经提出了同余式xb1(modm1),xb2(modm2),?,

xbk(modmk)这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数

学九章》中提出了同余式x?Mi1(modmi), i?1,2,...,k, mi是k个两两互质的正整数，

m?m1m2...mk,m?miMi的一般解法.

同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等

第五章 同余方程

本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。

第一节 同余方程的基本概念

本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。 在本章中，总假定m是正整数。

定义1 设f(x) = anxn ? ? ? a1x ? a0是整系数多项式，称

f(x) ? 0 (mod m) (1)

是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。 若an??0 (mod m)，则称为n次同余方程。

定义2 设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。

由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。 定理1 下面的结论成立：

(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与

f(x) ? b(x) ? b(x) (mod m)

等价；

(ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与

bf(x) ? 0 (mod m)

等价；

(ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都

第三章 同余

第三章 同 余

§1 同余的概念及其基本性质

定义1设m?Z?，称之为模。若用m去除两个整数a与b所得的余数相同，则称a,b对模m同余，记作：a?b(modm)；若所得的余数不同，则称a,b对模m不同余，记作：a??b(modm)。例如，8?1(mod7)，；所有偶数a?0(mod2)，所有奇数a?1(mod2)。同余是整数之间的一种关系，它具有下列性质：1、a?a(modm)；（反身性）2、若a?b(modm)，则b?a(modm)；（对称性）

3、若a?b(modm)，b?c(modm)，则a?c(modm)；（传递性）故同余关系是等价关系。定理1整数a,b对模m同余的充分必要条件是m|(a?b)，即a?b?mt，t?Z。

证明设a?mq1?r1，b?mq2?r2，0?r1,r2?m，则a?b(modm)?r1?r2?a?b?m(q1?q2)?m|(a?b)。性质1(1)若a1?b1(modm)，a2?b2(modm)，则a1?a2?b1?b2(modm)；

(2)若a?b?c(modm)，则a?c?b(modm)。性质2若a1?b1(modm)，a2?b2(modm)，则a1a2?b1b2(modm)；

特别地，若a?b

五年级下学期 第5讲

第5讲 同余的概念和性质

解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）.

性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 ★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 ★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质4：若a≡b（mod m），那么a≡b（mod m），（其中n为自然数）。

性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的

最大公约数）。

n

n

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

例3 求14389除以7的余数。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下