圆锥曲线定值问题专题

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第4讲圆锥曲线的定点与定值问题

标签:文库时间:2025-03-16
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第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD与C、D两点,设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程; H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点,交yC轴与点P,记PM??1MF,PN??2NF.求证:λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点Q(1,0)作直线l(与x轴不垂直)与轨迹C交于M、N两点,与y轴交于点R.若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点,线段AB的长为23,33RM??MQ,RN??NQ,证明:???为定值.(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B,3. 在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆95右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1?0,y2?0.

(1)设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹; (2)设x1?2,x2?13,求点T的坐标; (3)设t

高考圆锥曲线中及定点与定值问题(题型总结超全)

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..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

;圆

的左右焦点分别为

两点.

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得【答案】(1)

(2)

为定值;并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得

。设x轴上的定点为,可得

,由定值可得需满足

,解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为(Ⅱ)证明:

由题意设直线的方程为由设

消去y整理得

..

要使其为定值,需满足解得

.

.

故定点的坐标为

点睛:解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

高考圆锥曲线中及定点与定值问题(题型总结超全)

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专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

;圆

的左右焦点分别为

两点.

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得【答案】(1)

(2)

为定值;并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得

。设x轴上的定点为,可得

,由定值可得需满足

,解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为(Ⅱ)证明:

由题意设直线的方程为由设

消去y整理得

..

要使其为定值,需满足解得

.

.

故定点的坐标为

点睛:解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

圆锥曲线的定比分点

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一、圆锥曲线的中点弦问题:

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以

为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为

中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的

弦所在直线的斜率k=

。比如:

①如果椭圆是 (答:

弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程

);

②已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中

点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:

);

③试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对

称(答:

);

特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、

对称问题时,务必别忘了检验

二 圆锥曲线的几何性质:你了解下列结论吗?

(1)双曲线

的渐近线方程为

(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为

为参数,≠0)。

如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相

应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛

圆锥曲线中的最值和范围问题

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圆锥曲线专题:圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;典型例题:<<考一本>>

(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;

(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;

(6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动,Q点在椭圆92

2

解:先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线中的最值和范围问题

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圆锥曲线专题:圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;典型例题:<<考一本>>

(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;

(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;

(6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动,Q点在椭圆92

2

解:先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题

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第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:

1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:

(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点

圆锥曲线专题复习

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高二数学 编号:SX-10-(1-1)复习-05

《选修1-1——圆锥曲线》导学案

编写人:王 健 审核人:张 静 编写时间:2011-12-15

班级: 组别: 姓名:

1、平面内与两个定点F)的点的轨迹称为椭圆. 1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2即:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2??1?a?b?0? a2b2?a?x?a且?b?y?b y2x2??1?a?b?0? a2b2?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1? aa1

3、平面内与两个定

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

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第1页共4页圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-,

,直线BM ,AM 相交于点M ,且它们的斜率之积为9

4-,求点M 的轨迹方程。(人教A 版选修,12-第40页例3)拓展研究:动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022

>>-b a a

b ,则动点M 的轨迹方程为_____________.

引例2:设ABC ?的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-,

,且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠,试探究顶点C 的轨迹方程。(人教A 版选修,12-第80页复习参考题第10题)变式探究:对m k k BC AC =?()0≠m 进行了探究,那么(),0≠=m m k k BC

AC (),0≠=+m m k k BC AC ()

0≠=-m m k k BC AC 应用举例:

设点B ,A 的坐标为()()0101,,-,

,直线BM ,AM 相交于点M ,求满足下列条件点M 的轨迹方程。

第2页共4页⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2

=-BM AM k k 反馈练习:

1、已知椭圆C :12

22

=+y x ,点521,,,M M M

圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题

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第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:

1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:

(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点