阿氏圆定理

到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．

到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线

那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？ 没错就是阿氏圆．

阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：

一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 【分析】

令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k（为实数，且不为±1）

得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0， 当k不为±1时,它的图形是圆．

当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线． 【典型例题】

问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路： 如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1， 则有CD/CP＝CP/CB＝1/2，

又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP． ∴PD/BP＝1/2

2

中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．

下给出证明

法一：首先了解两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则

AB DB

AC DC

=

． F

E

D

C

B

A

证明：ABD ACD

S BD S

CD =

，ABD ACD

S AB DE AB S

AC DF AC ?=

=?，即AB DB

AC DC

=

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则

AB DB

AC DC

=

． A

B

C

D

E

证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB

AC DC

=

．

接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=

例1 如图 已知△ABC中，∠C=90°，AC=√11，BC=5，以c为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，

则AD的长为（ ）

例2 如图BC为半圆⊙O的直径,EF⊥BC于点F,且BF:FC=5:1,已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交于且

AB=8,AE=2,则AD长为（ ）

例3 如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P

延长AP交BC于点N，则BN/NC= （ ）

例4 如图 PA,PB 是⊙O的两条切线,又PEC是一条割线,D是AB与PC的交点.

（1）当PEC通过圆心时，求证PE ·CD=PC·DE ; (2) （1）当PEC不通过圆心时，PE ·CD=PC·DE 是否成立？说明理由

例5 如图所

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂

初三数学培优卷―― 垂径定理+圆中的角

重点题型：

【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB?CD＝（ ）

A、28 B、26 C、18 D、35

C

22O

E B 【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。 A 1）如图，在下面圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； D （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 例 图

??

0

练习1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

① ①

C?

E

ADB第1题图

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。

C E

G B?AO FD

第2题图

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

A

O? DCB

圆的概念、性质与定理 真题链接

【例1】 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，?A?22.5?，OC?4，CD的长为（ ）．

A．22 B．4 C．42 D．8

（2014北京中考）

【例2】 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB?2，设弦AP的长为x，△APO的面

积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）．

P

AOB(2013北京中考)

A. B．

C. D．

一轮复习课程·圆·圆的概念、性质与定理·习题集·学生版 Page 1 of 16

课堂练习

一、圆的基本概念和性质

【例1】 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB?2DE，?E?18?，

求?AOC的度数．

ACOBDE

【例2】 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC?a，EF?b，

NH?c则下列格式中正确的是（ ）

A． a?b?c B． a?b?c C． c?a?b D． b?c?a

GENBODAFC

24.1.2圆的轴对称性——垂径定理及其推论说课稿 (2010-10-11 10:19:07)

转载

标签： 分类： 空间与图形

杂谈

各位专家、评委：

你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。

我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书-《数学>》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。。

这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。

结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。

下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。

一、教学内容的说明

教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点， 垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。

鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：

(1)

九年级数学(下)第三章 圆

5.直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理

直线与圆的位置关系量化揭密r O ┐d r●

●

O

r●

O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

直线和圆相交直线和圆相交

d < r;d = r;

直线和圆相交

d > r;

切线的性质定理

定理

圆的切线垂直于过切点的直径.

B

如图∵CD是⊙O的切线,A是 切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.C

●

O D

老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作 过切点的半径是常用经验辅助线之一.

A

议一议

直线何时变为切线

如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时,B

1.随着∠α的变化,点O到CD的距离 如何变化?直线CD与⊙O的位置关系 如何变化?

●

O D

2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与 ⊙O有的位置关系?有为什么?

α d C

α ┓ A

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

议一议

切线的判定定理

定理 经过直径的一端,并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线. BO D

如图 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.

●

老师提示: 切线的判定定理是证明