三元一次不定方程的解法

1.了解三元一次方程组的含义. 2.会用代入法或加减法解三元一 次方程组. 3.掌握解三元一次方程组的思想 “消元”,即将“三元”化为 “二元”或“一元”的思想.

纸币问题小明手头有12张面额分别是1元、2元、5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量 是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元的 纸币各多少张？提出问题：1.题目中有几个条件？ 2.问题中有几个未知量？ 3.根据等量关系你能列出方程组吗？

(三个量关系)每张面值

×

张数

=

钱数

1元2元 5元 合 计

xy z

x 2y5z

12

22

注

1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y

分析：在这个题目中，要我们 求的有三个未知数，我们自然 会想到设1元、2元、5元的纸 币分别是x张、y张、 z张，根 据题意可以得到下列三个方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.

三元一次方程组如何定义?

x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y. 定 义

含有三个未知数特点 含未知数的项次数都是一次

含有三个未知数，并且含未知数的项的次 数是一次的方程组叫做三元一次方程组。

辨 析

判断下列方程组是不是三元一次方程组? x

探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031）

【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次

不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知

第9讲 二元一次方程组的实际应用和三元一次方程组的解法

知识点1．三元一次方程组

（1）定义：含有三个未知数，每个未知数的次数都是1，像这样的方程组就叫三元一次方程组。

?x=1?xy+z=1??例如：?y+z=-1是三元一次方程组，而?y+z=2不是。

?x+y=2?x+y+z=-3??

知识点2.三元一次方程组的解法思路

解简单的三元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化成一元一次方程，“消元”的关键是选准先消去的未知数。一般原则是：

（1）消去系数最简单的未知数； （2）消去某个方程中缺少的未知数；

（3）消去系数成整数倍数关系的未知数。在“消元”过程中，必须保持每个方程至少用一次。

知识点3.三元一次方程组的解法及步骤

（1）利用代入法或加减法，把方程组里的一个方程分别与另两个方程组成两组，消去

两组中的同一个未知数，得到另外两个未知数的一个二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值： （3）求出另一个未知数的值：

?x=a?（4）写出?y=b的形式

?z=c?

知识点4.列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、

初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

4、求11x+15y=7的整数解．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解． 6、求方程7x+19y=213的所有正整数解． 7、求方程37x+107y=25的整数解．

8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

11、求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1； （2）9x+21y=144； （3）103x﹣91y=5．

12、求下列不定方程的正整数解： （1）3x﹣5y=19； （2）12x+5y=125．

13、求下列不定方程的整数解： （1

三元一次方程组解法举例 导学案

学习目标：

1、了解三元一次方程组的定义； 2、掌握三元一次方程组的解法； 3、进一步体会消元转化思想． 学习重难点：

重点：利用消元思想解某些简单的三元一次方程组

难点：正确、灵活地选择代入法和加减法解三元一次方程组 一．课前预习 .情景设计导入

小明手头有12张面额1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元的纸币各有几张吗？ 1.、如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，从第一句话中得 =12，从第二句话中得 =22，从第三句话中得 =

?x?y?z?12 (1)?方程来解。尝试解三元一次方程组：?x?2y?5z?22 (2)

?x?4y (3)?解：把(3)分别代入(1)、(2)得：

(4) (5)

把方程(4)、(5)组成方程组 ?

???y?解这个方程组，得?

z??把y? 代入（3），得x?

?x?y

三元一次方程组解法举例 导学案

学习目标：

1、了解三元一次方程组的定义； 2、掌握三元一次方程组的解法； 3、进一步体会消元转化思想． 学习重难点：

重点：利用消元思想解某些简单的三元一次方程组

难点：正确、灵活地选择代入法和加减法解三元一次方程组 一．课前预习 .情景设计导入

小明手头有12张面额1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元的纸币各有几张吗？ 1.、如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，从第一句话中得 =12，从第二句话中得 =22，从第三句话中得 =

?x?y?z?12 (1)?方程来解。尝试解三元一次方程组：?x?2y?5z?22 (2)

?x?4y (3)?解：把(3)分别代入(1)、(2)得：

(4) (5)

把方程(4)、(5)组成方程组 ?

???y?解这个方程组，得?

z??把y? 代入（3），得x?

?x?y

8.4元三一方次程的解组法

第二时课温故

而知解下列新程方组 x y 1 1 .y z 2 xz 3 x 2 y 9 2 . y z 32 zx 4 7 3 x y z 4 3. 2 3xy z 1 2 x y z 6

境情引入. 在等式 1 y kx x k ,中 x当 x 1 , y时 2y, k则x __ __;_2. 在等 式y 中b当 ,时，0 2 ,当 1 时,分y:析式等 ,则当0 x 时3,y _ _____; y kx,中含三未知个，告诉了数其两个中、y,x x 0 需只把x 、 y值代的入中式即构造 可关于 k 的方。程 析：等分式 yxk b中含有两个，参k数b、只，需把 和 y 2 x 1 两对数这代值式入中可即造关构于、bk二元一的次 y 方程组，解这个方0程组可即出求k、b值的并，进可而出 求x当 时3的值。

y探究新知 例

在等 式=ayx +2b+c中，x x=当-时,1y=;当x=2时0 ,=y3;当=5x时y

8.4元三一方次程的解组法

第二时课温故

而知解下列新程方组 x y 1 1 .y z 2 xz 3 x 2 y 9 2 . y z 32 zx 4 7 3 x y z 4 3. 2 3xy z 1 2 x y z 6

境情引入. 在等式 1 y kx x k ,中 x当 x 1 , y时 2y, k则x __ __;_2. 在等 式y 中b当 ,时，0 2 ,当 1 时,分y:析式等 ,则当0 x 时3,y _ _____; y kx,中含三未知个，告诉了数其两个中、y,x x 0 需只把x 、 y值代的入中式即构造 可关于 k 的方。程 析：等分式 yxk b中含有两个，参k数b、只，需把 和 y 2 x 1 两对数这代值式入中可即造关构于、bk二元一的次 y 方程组，解这个方0程组可即出求k、b值的并，进可而出 求x当 时3的值。

y探究新知 例

在等 式=ayx +2b+c中，x x=当-时,1y=;当x=2时0 ,=y3;当=5x时y

如何解三元一次方程组

教学目标

1，会用消元思想解三元一次方程组

2，巧用叠加法解三元一次方程组

3，三元一次方程组的应用，例如胜平负场次得分问题，队包工程问题.

核心：解三元一次方程组与解二元一次方程组思路一样，在于消元

3?????+??=4

例1.解方程组 ??+??+??=6

2??+3?????=12

消元的选择：

1.选择同一个未知数系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知数系数最小公倍数最小的那个未知数消元；

2??+4??+3z=9

练习：解方程组 3???2??+5??=11

5???6??+7z=13

三元一次方程组之特殊型：

??+??+??=12

例2.解方程组 ??+2??+5??=22

??=4??

类型一：有表达式，用代入法（消??） 类型二：却某元消某元（消??）

2??+??+??=15

例3.解方程组 ??+2??+??=16

??+y+2z=17

分析：未知数的系数之和相等，可采取求和做差的方法求解（类型三）。

??+??=20练习：解方程组 ??+??=19

??+z=21

??∶??∶??=1∶2∶7例4. 解方程组

2?????+3??=21

类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型

??

精品 文档

8.4《三元一次方程组的解法》同步练习题（3）

度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。

知识点：

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二 元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．

同步练习：

??

???=--=--=++=--=--=++??

?????????????=-===-==-===的解。

是方程组的解，因此是方程解，的是方程的解，

是方程这三组数值中，③②在①23,12,02__________

23________12_______02_______

010321303.1z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x 2.若三元一次方程2x －3y ＋mz =0,其中x =1,y =2,z =3,则m 的值为__________

__________

11

0,154,322.3则该方程组的解是，的值是，的值是的若满足方程组??

???-=++=-+-=+-y x z y x z y x z y x 以上说法都对先消去先消去