柯西西瓦兹不等式证明

柯西不等式的证明及应用

（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178

Identification and application of Cauchy inequality

Chen Bo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle rele

中图分类号： O122.3

本 科 生 毕 业 论 文 （申请学士学位）

论文题目 柯西-西瓦兹不等式的推广与应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学 指导教师

2010年 4月30日

- 1 -

学 号：5060352023 论文答辩日期： 2010 年 6月 5日

指 导 教 师： （签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明

本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名： 2010年5月30日

- 2 -

柯西-西瓦兹不等式的推广与应用

摘要：柯西-西瓦兹不等式在许多领

kexi budengshi

柯西不等式的证明及其应用

赵增林

（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西

不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式

定理：如果a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为两组实数，则

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) （*）

当且仅当a1b2 a2b1 a1b3 a3b1 …… a1bn anb1 0时等号成立。 若b1 0,b2 0,……,bn 0，则不等式的等号成立的条件是

aa1a2

…… n。 b1b2bn

我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明：

一）两个实数的柯西不等式的证明：

22

对于实数a1,a2,b1,b2，恒有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)，当且仅当

a1b2 a2b1 0时等号成立。如果b1 0,b2 0则等式成立的条件是证明：对于任意实数a1,a2,

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

i?1?i?1?2n2由

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

i?1?i?1?2n2由

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。