圆锥曲线弦长万能公式的推导

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

qqqq

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为?的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|?H； 22|1?ecos?|（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|?H.

|1?e2sin2?|本文仅对焦点在x轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.

x2y22b2c证明：设双曲线方程为2?2?1（a＞0，b＞0），通径H?，离心率e?，弦AB

aaab所在的直线l的方程为y?k（x?c）（其中k?tan?，?为直线l的倾斜角），其参数方程为

?x??c

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

， x2 又M为AB的中点，所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2， 解得k 1

2

，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x2

1 4y2

2

2

1 16，x2 4

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep

1+ecos?则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

ep（3）??

1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep

1+ecos?则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

ep（3）??

1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方