微分方程模型 数学建模

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第六章

微分方程模型

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本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

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一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

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建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

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1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；

2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；

3.解微分方程；

4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改

摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问 ，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。

【关键字】：微分方程 转化 能量转换系数

1. 问题重述

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 人数 身高 体重 BMI 理想目标 1 1.7 100 34.6 75 2 1.68 112 33.5 80 表一 3 1.64 113 35.2 80 4 1.72 114 34.8 85 5 1.71 124 35.6 90 题目要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

微分方程模型（动态模型） 微分方程模型（动态模型） 在研究某些实际问题时， 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系， 之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些 关系。利用这些关系， 关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模 在自然界以及工程技术领域中， 型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大 量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等 量存在的。 领域中去，其影响是广泛的。 领域中去，其影响是广泛的。 ? 随时间(空间)变化的数量关系 随时间(空间) ? 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分)的方程 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分) ? 例: 人口模型 、种群竞争模型 1
动态模型的作用： 动态模型的作用： ? 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段
微分方程建模的方法： 微分方程建模的方法： ? 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据函数及其变化率 变化率之间的关系确定函数 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 内在规律或用类比法建立微分方程 ? 按照内

微分方程应用

1 引言

常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.

数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型

目 录

摘要 .................................................................................................... 1 1引 言.............................................................................................. 2 2 常微分方程的发展概况................................................................... 2 3 数学建模简介 ................................................................................. 3 4 常微分方程和数学建模结合的特点 ................................................ 3 5 常微分方程在数学建模中的应用.......................... 3 5.1 建立微分方程的方法 .........