奥数行程问题50例详解

行程50题

1． 小明从甲地到乙地去，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时。那么小明去的时候用了多少时间？甲乙两地间相距多少千米？

【分析】 来去的路程相同，那么速度与时间成反比，来去的速度之比是7：5，相应的时间之比是5：

7，因此去的时间占总时间的

127757=+，即371274=?小时，两地间相距3

211335375==?千米． 2． 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达。但汽车行驶到路程53时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？（第3届迎春杯决赛试题）

分析：

【分析】 当以原速行驶到全程的

53时，总时间也用了53，所以还剩下20)5

31(50=-?分钟的路程；修理完毕时还剩下15520=-分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为3:415:20=，

所以相应的速度之比为3:4，因此每分钟应比原来快250334750=-?米。

3． 小明和小刚进行100米短跑比赛（假定二人的速度均保持不变）。当小刚跑了90米时，小明距离终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？（第8届迎春杯决赛试题）

【分析】 当小刚跑

16 行程问题

1

基本公式

1.1 路程（和、差） = 速度（和、差）×时间 火车过桥（隧道）是长度和

1.2 时间 = 路程（和、差）÷速度（和、差） 速度（和、差）= 路程（和、差）÷时间 1.3 速度差 = 快速 – 慢速

速度和 = 慢速 + 快速

快速 = （速度和 + 速度差） ÷2

1.4 慢速 = （速度和 –速度差）÷ 2 2

三类基本行程问题：相遇、追及、环形跑道。

2.1 相遇的含义：如果出发时间相同，则所走的时间相同；相遇时，两方都处于同一个位置。在超过2人的行

程问题中，相遇就是时间和距离的等量代换点；如果一方先出发或者有一方中间停止，则这一方还要算上先出发的时间或去掉停止的时间。

2.2 相遇：速度和，对应路程和，相遇时，有公式：

路程和 = 速度和×时间 时间 = 路程和÷速度和 速度和 = 路程和÷时间。

2.3 追及：速度差，对应路程差，相遇时，有公式：

路程差 = 速度差×时间 时间=路程差÷速度差 速度差 = 路程差÷时间。

2.4 环形跑道的同向追及，速度差，每相遇一次，路程差1圈。

距离差= 圈数×跑道长=速度差×时间 时间 =（圈数×跑道长）÷

个性化教案

授课主题： 行程问题 针对性教学目标： 跟踪分析： 教学设计：

讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。 行程问题的主要数量关系是： 路程=速度×时间

如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么，上面的数量关系可用字母公式样表示为：s=vt。

例题与方法

例1．

小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全部行程需30分。如果他往返都步行，需多少分？

例2．甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少？

例3．一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相员。甲、乙两站相距多少千米？

例4．苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问，他在电车上碰到了一位外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做，题目是：

甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发

实用文档

1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 解题思路：

由已知条件可知，一张桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子价钱的（10-1）倍，由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱，就可求得一张桌子的价钱。 答题：

解：一把椅子的价钱： 288÷（10-1）=32（元） 一张桌子的价钱： 32×10=320（元）

答：一张桌子320元，一把椅子32元。

2. 3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？ 解题思路：

可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量。 答题：

解：45+5×3=45+15=60（千克）

文案大全

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答：3箱梨重60千克。

3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？

解题思路：

根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快，可知甲比乙多走4×2千米，又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。 答题：

解：4×2÷4=8÷4=2（千米） 答：甲每小时比乙快2千米。

4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支

1、 一水池，甲、乙两管同时打开，5小时灌满；乙、丙两管同时打开，4小时灌满；今先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时打开2小时才能灌满。乙单独打开几小时可以灌满？

解法1：乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满，相当于甲乙同时开2小时，乙丙同时开2小时，乙还要单独开6－2－2＝2（小时） 甲乙同时开2小时注入：5分之1×2＝5分之2 乙丙同时开2小时注入：4分之1×2＝2分之1

乙单独开2小时注入：1－5分之2－2分之1＝10分之1 乙管单独开灌水池需：2÷10分之1＝20（小时）

解法2： 设乙单独完成要X小时，每小时是1/X 甲每小时：1/5-1/X 丙每小时：1/4-1/X (1-6/X)/(1/5-1/X+1/4-1/X)=2 X=20

答：乙单独需要20小时。

解法3：甲乙的效率和是1/5，乙丙的效率和是1/4，设乙管单独开要X小时灌满，其效率为1/X，于是 6/X+2（1/5-1/X+1/4-1/X）=1 X=20。

即单独开乙管要20小时灌满。

2、 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有这样同样的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库。同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途转向

小学奥数流水行程问题

教学设计

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

流水行程问题教学设计

本课分为两课时，第一课时为例题讲解、答疑激趣、归纳算理、布置课后作业；第二课时为习题讲解，反思总结。

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握行船、流水问题的基本规律，能理清水速、船速之间的关系

2、过程与方法：经历应用问题的解决，掌握流水行程问题的基本解决方法和步骤，学会用画图等方法解决问题

3、情感态度价值观：经历问题解决的步骤，加强逻辑能力和思维水平，增加学生思维的挑战，引发学生的兴趣。

二、教学重点：船速、水速和顺水、逆水的等量关系式

教学难点：理解问题的解决方法

三、教学过程

（一）展示例题，指出关键

已知一艘轮船顺水行48千米需4小时，逆水行48千米需6小时．现在轮船从上游A港到下游B港．已知两港间的水路长为72千米，开船时一旅客从窗口扔到水里一块木板，问船到B港时，木块离B港还有多远

1、理解信息。请学生从中找出关键词和所了解到的信息，说说如何理解

2、集思广益。根据你了解到的信息，如何解决现在的问题

3、教师展示思路：

分析：顺水行速度为：48÷4=12（千米），逆水行速度为：48÷6=8（千米）．

因为顺水速度是比船的

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五升六奥数行程问题（一）

1、甲乙两列火车同时从相距1480千米的AB两城相对开出，4小时相遇，甲车每小时行220千米，乙车每小时行多少千米？

2、甲、乙两城相距660千米，货车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，货车先行4小时，客车才从乙城出发开往甲城，又经过3小时两车相遇。客车每小时行多少千米？

3、甲乙两人从400米环形跑道上的A点出发向相反方向跑，在第一次相遇后又经过40秒第二次相遇，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑多少米？

4、两辆汽车从相距760千米的两地同时相对开出，原计划甲每小时行34千米，乙每小时行42千米。实际开车时，甲车加快了速度，每小时行53千米，那么，相遇时，乙车比原计划少行多少千米？

5、甲由东村去西村，同时乙从西村到东村，经过14分钟，两人相遇后又相距90米。已知甲走完全程需24分钟，乙每分钟走60米，东、西两村相距多少米？

6、甲乙两辆汽车同时从相距510千米的两地相向而行，甲车每小时行50千米，途中甲车发生故障停了1小时，乙车每小时行驶30千米，相遇

发车间隔、接送和扶梯问题

一、 发车间隔

间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。 在班车里——即柳卡问题

不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 在班车外——联立3个基本公式好使

（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 综上总结发车问题可以总结为如下技巧

（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡

二、 接送问题

校车问题——行走过程描述

队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。 常见接送问题类型

根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常

第二讲 行程

(１)相遇问题

知识链接：

相遇问题是研究两个物体共同走一段路程的运动。可分为相向，相背，环行运动等相遇问题。

行程问题基本数量关系式：路程=速度×时间

相遇问题基本关系式： 速度和×相遇时间=相遇路程 相遇路程÷相遇时间=速度和 相遇路程÷速度和=相遇时间 超级课堂

1. 甲乙两车同时从两地相对开出，经过5小时后相遇。甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，问：甲，乙两地相距多少千米？

2. 甲，乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米。甲带一只狗，每小时跑5千米，这只狗同甲一起出发，当它碰到乙后便转回头跑向甲…如此下去，直到两人碰到头为止。问这只狗一共跑了多少千米？

3. 甲,乙两辆货车分别同时从A,B两个城市相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，两车在距离两城中点25千米处相遇。那么A,B两个城市间的路程是多少千米？

4. A,B两城相距60千米，甲，乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12

四年级 行程问题

例题一：

甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每千米走4千米。两人几小时后相遇？ 【思路导航】这是一道相遇问题。所谓的相遇问题是指两个运动的物体以不同的地点为出发点做相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离在每小时缩短6+4=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米，所以，两人20÷10=2（小时）后相遇。 20÷（4+6）=2（小时） 答：两人2小时后相遇。 【疯狂操练】 1） 加以两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船

每小时行驶15千米，经过6小时两艘轮船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？

2） 甲乙两车分别从相距480千米的AB两城同时出发，相向而行，一直甲车从A城到B

城需要6小时，乙车从B城到A城需要12小时。两车在出发后多少小时相遇？

3） 东西两镇相距2千米，甲乙两人分别从两镇同时出发相向而行，甲每小时行的路程

是乙的两倍，三小时后两人相距56千米，两人的速度各是多少？

例题二：

王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行