二次函数最值的范围教案

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

二次函数最值

内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值

b24ac?b2b的求法．二次函数y=ax+bx+c=a（x+）+．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，

2a2a4a2

bb4ac?b2y随x增大而减小；当x>-时，y随x?增大而增大；当x=-时，y取最小值．当a<0时，

2a2a4a抛物线开口向下，此时当x<-

bbb时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，

2a2a2a4ac?b2y取最大值．

4a 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，?要结合图象和增减性来综合考虑． （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析

例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1= （A）3 （B）

y?1z?2?，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ）． 23599 （C） （D）6

214y?1z?2? 分析：设x-1==t，则x2+y2+

..

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高

闭区间上二次函数的最值

朱义华

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。

一. 定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y??x2?4x?2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y??x2?4x?2??(x?2)2?2是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x?2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)?2，最小值为f(0)??2。

图1

2例2. 已知2x?3x，求函数f(x)?x?x?1的最值。 2解：由已知2x?3x，可得0?x?233??，即函数f(x)是定义在区间?0，?上的二22??211?3?次函数。将二次函数配方得f(x)??x???，其对称轴方程x??，顶点坐标

?22?43??13????，?，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间?0，

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为

二次函数面积和周长最值问题

15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、

B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式；

（2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。

y

C O A F B E x 16、（2012深圳市龙城中学质量检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(3分)

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(4分)

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边y形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分)

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y=AOCxMBk相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣x2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离

函数的单调性与最值

一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1

设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．

1．下列函数在其定义域上是增函数的是( )

A．y＝tan x

B．y＝－3x C．y＝3x

D．y＝ln |x|

自左向右看图象是________ 解析：y＝tan x只在其周期内单调递增，y＝－3x在R上单调递减，y＝3x在R上单调递增，y＝ln |x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．(2013·海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )

A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax

解析：a＞0时，函数f(x)＝ax＋b，为增函数；对于函数f(x)＝ax，当0＜a＜1时，在R上为减函数，当a＞1时，在R上为增函数；对于f(x)＝logax,0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a＞1时在(0，＋∞)上为增

2二次函数y=a(x+m)的图像

向化中学旧知识点复习

?填空：

y_轴__，1.二次函数y＝3x2+4的对称轴是

（_0,4），此图像是由抛物线y＝3x2向上顶点坐标是_4__个单位得到的。移_

__平

2.说出下列函数的图像是有抛物线y=3x2怎样平移后得到的。（1）y＝3x2-4 （2）y＝3x2+5

?请思考：二次函数y＝a(x+m)2的图像可以通过二次函

数y=ax2的图像平移得到吗？

分析与思考（2）

?请思考

（1）改变m的大小，当m增大时（即在m处做加法运算时），抛物线的移动方向（向左还是向右？）

（2）改变m的大小，当m减小时（即在m处做减法运算时），抛物线的移动方向（向左还是向右？）

（3）抛物线的对称轴一定过抛物线上的哪一点，对称轴与y轴的位置关系？

新知识点导入?作图实践：在同一直角坐标平面内画出二次函数。

列表：描点、连线，得到如右图所示的两条抛物线

xy= x2y= (x+1)2…-4……82-3-220-10021228348………-5-4-3-2-1012345观察与发现观察与分析：

抛物线开口方向对称轴顶点坐标y= x2向上y轴（0，0）过点(-1,0)且平y= (x+1)2向上行于y轴的直线，（-1，0）即直线x=-1从上图可以看到

1）抛物

九年级数学下册 二次函数 教案

本节共需1课时 主备人： 本课为第1课时 教学目标 通过具体问题引入二次函数的概念； 在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学内容 26.1二次函数 教学难点 如何建立数学模型 教具准备 学案每生一份 课型 新授课 统 复 备 教学过程 初 备 （1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？ 2（2）已知正方体的棱长为x㎝，表面积为ycm,则y与x的关系是 。 （3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？ 情境创设 1、 请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义． 2、 归纳：二次函数的概念 3、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a、b、c的取值范围，强调a?0。 4、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值范围。 探究新知 重庆沙外 初三数学