统计量及其抽样分布答案

《统计学》课程教学大纲

课程编号：×××××××× 课程类别：学科基础课

授课对象：经济管理类各专业、社会学专业、档案学专业、新闻学专业等 开课学期：第3、4、5、6学期 学 分：4学分 主讲教师：……等

指定教材：贾俊平、何晓群、金勇进编著，《统计学》(第六版)，中国人民大学出版社，2015年 教学目的：

《统计学》是为我校非统计专业本科生开设的一门基础必修课，总课时约54学时。设置本课程的目的在于培养学生有关统计知识方面的基本技能，培养学生应用统计方法分析和解决问题的实际能力。教学应达到的总体目标是：

使学生能系统地掌握各种统计方法，并理解各种统计方法中所包含的统计思想。 使学生掌握各种统计方法的不同特点、应用条件及适用场合。 培养学生运用统计方法分析和解决实际问题的能力。

第1章 导论

课时：1周，共3课时

教学内容

第一节 统计及其应用领域 一、什么是统计学

统计学的概念。描述统计。推断统计。 二、统计的应用领域

统计在共生管理中的应用。统计在其他领域的应用。统计的误用与正确使用。 三、历史上著名的统计学家 一些主要的统计学家。 第二节 统计数据

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第 6 章 统计量及其抽样分布

6-1

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第 6 章 统计量及其 抽样分布统计量 关于分布的几个概念 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差的分布 关于样本方差的分布

§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6 §6.76-2

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学习目标

1. 理解统计量与分布的几个概念 2. 掌握Z、t、卡方、F四大分布 掌握Z 卡方、 3. 掌握单总体参数(均值/比例/方差)推断 掌握单总体参数(均值/比例/方差) 时样本统计量的分布 4. 掌握双总体参数(均值差)推断时样本统 掌握双总体参数(均值差) 计量的分布6-3

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§6.1 统计量

一. 二. 三. 四.

样本统计量 常用统计量 次序统计量 充分统计量

6-4

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样本统计量的概念

1. 设X1,X2,…,Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本。 量为n的

统计量与抽样分布习题

1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 2．第1题中，如果我们希望Y与μ的偏差在0.3盎司之间的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？

3．在第1题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差?2=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差S

2

??S?2?1n?1??Yi?1ni?Y?2?确定一个合适的范围使得有较大?，?的概率保证S2落入其中是有用的，试求b1和b2，使得P?b1?S2?b2??0.90。

4．Z1,Z2,?,Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量n?6的一个样本，试确定常数b，

?6?2使得P??Zi?b??0.95

?i?1?选择题：

1． 设X1,X2,?,Xn是从某总体X中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量？

A.X?1n?ni?1Xi2B.S2?1n??Xi?12ni?X?2

C.??Xi?E?Xi?1n?

第二章 统计量及其分布 习题 一、填空题

1、简单随机抽样样本均值X的方差取决于 和_________，要使X的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的 倍。

2、设X1,X2,?,X17是总体N(?,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2?a)?0.01，则a?____________。

2222 （注：?0.99(17)?33.4, ?0.995(17)?35.7, ?0.99(16)?32.0, ?0.995(16)?34.2）

3、若X?t(5)，则X2服从_______分布。

4、已知F0.95(10,5)?4.74，则F0.05(5,10)等于___________。

5、中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着 的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于 。 ，

二、选择题

1、中心极限定理可保证在大量观察下

A 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B 样本方差趋近于总体方差的趋势 C 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D 样本比例趋近于总体比例的趋势 2、设随机变量X?t(n

课后练习：

一、单项选择：

1、抽样误差是指：（ ）

A. 抽样推断中各种原因引起的全部误差 B. 工作性误差 C. 系统性代表误差

D. 随机误差 D

2、重复抽样的抽样误差（ ） A. 大于不重复抽样的抽样误差 B. 小于不重复抽样的抽样误差 C. 等于不重复抽样的抽样误差

D. 不一定 A

3、在简单重复抽样下，若总体标准差不变，要使抽样平均误差变为原来的一半，则样本单位数必须（ ）

A. 扩大为原来的2倍 B. 减少为原来的一半 C. 扩大为原来的4倍

D. 减少为原来的四分之一 C

4、在抽样之前对每一个单位先进行编号，然后使用随机数字表抽取样本单位，这种方式是（ ）

A. 等距抽样 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样

D. 整群抽样 C

5、一个连

第6章 抽样与抽样分布

练习题

6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估

计总体均值。

（1） x的数学期望是多少？ （2） x的标准差是多少？ （3） x的抽样分布是什么？

（4） 样本方差s的抽样分布是什么？

6.2 假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x的数学期望是多少？ （2）x的标准差是多少？

6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的

抽样标准差?x等于多少?

6.4 设总体均值??17，标准差??10。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，

其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。 （1）描述x25的抽样分布。 （2）描述x100的抽样分布。

6.5 从??10的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：

（1）重复抽样。

（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。

6.6 从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1）p的数学期望是多少? （2

第6章 抽样与抽样分布

练习题

6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估

计总体均值。

（1） x的数学期望是多少？ （2） x的标准差是多少？ （3） x的抽样分布是什么？

（4） 样本方差s的抽样分布是什么？

6.2 假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x的数学期望是多少？ （2）x的标准差是多少？

6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的

抽样标准差?x等于多少?

6.4 设总体均值??17，标准差??10。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，

其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。 （1）描述x25的抽样分布。 （2）描述x100的抽样分布。

6.5 从??10的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：

（1）重复抽样。

（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。

6.6 从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1）p的数学期望是多少? （2

一、基本概念1. 统计量的定义设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体 X 的一个样本 ,g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是 X 1 , X 2 ,L, X n 的函数 , 若 g中

不含未知参数 , 则称 g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是一个统计量. 设 x1 , x2 ,L, xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的样本值 , 则称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 是 g ( X 1 , X 2 ,L, X n )

的观察值 .

实例1 实例 设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 N ( µ ,σ 2 )的一个

样本 , 其中µ 为已知, σ 2 为未知, 判断下列各式哪 些是统计量 , 哪些不是 ? T1 = X 1 ,T2 = X 1 + X 2e ,X3

1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),

是

T5 = X 1 + X 2 2 µ ,不是

1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ

2. 几个常用统计量的定义设 X 1 ,

均值

,

一

赫磷灿汕数学物理学报均值混合正态分布统计量的性质熊明谢民育武汉哪华中师范大学数学与统计学学院

摘要这篇文章基于基因遗传背景,提出了一类均值混合正态分布,它不同于通常所讨论的方差混合正态分布作者研究了这类均值混合正态分布统计量的性质,给出了平移变换群下不变量的稳健性,即它与正态分布下该统计量有相同的性质,并且讨论了其它统计量的分布

关扭词均值混合正态分布方差混合正态分布平移不变量刻度不变量稳健性

主题分类文章编号

中圈分类号一导

文献标识码

引言和背景通常文献中所讨论的混合正态分布是关于方差的混合川,其密度函数为

一其中

,轰人面

二”一‘

一“

一,”。,亏‘

,击几是正态分布

,击的密度函数,叫是权分布函数 人由

式可

以看到其密度函数是正态密度的一个加权平均,其中权重与正态分布的方差有关,因此,我们在此称这一类混合正态分布为方差混合正态分布容易验证一个。维随机向量有如一

所示的密度函数,当且仅当

可以分解为,

这里一

表示左右,击几,。有分布函数。,且与。全哟是相互独立的符号“丝”

两边的随机向量有相同的分布

对于方差混合正态分布,文献【中给出了其刻度变换群下的不变量具有稳健性,即这些统计量与正态分布下该统计量有相同的性质

定理

设、

,击山

若对任意的数。,一实维统计量‘满足,

抽样分布的研究

抽样分布的研究

1 前言

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布． 用来估计一个未知总体参数的抽样统计称为估计． 真实参数值和估计值间的差异称为抽样误差．带有概率分布的随机变量统计称为抽样分布，由重复抽样产生． 我们用统计的抽样分布来测定估计中的抽样，它可分为正态总体下与非正态总体下两种情况来讨论．是由样本n个观察值计算的统计量的概率分布．从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布．从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布．

例如：如果特指的统计量是样本均值，则此分布为均值的抽样分布．类似的有标准差、方差、中位数、比例的抽样分布．

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布．

基于独立的，与总体分布的简单随机样本的抽样分布定理，是小样本统计推断的理论基础??．二十世纪20年代以来，由此发展的成熟的简单随机样本统计推断理论，

1已在