线性代数基本知识

线性代数基本定理 一、矩阵的运算

1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O

?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换

(A+B)=A+AB+BA+Bk222

(AB)=ABABABAB...AB

3.常被忽略的矩阵运算规则

(A+B)T=AT+BT

(lA)=lATT

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算

111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)

a1a2an-11-1(kA)=A

k-1 方法

1. 特殊矩阵的乘法

A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：

B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断

A@B?R(A)=R(B)

任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行

大学课程线性代数期末复习

第一章:行列式

1. 二阶和三阶的求解。

2. n级排列有n!个，12…为自然序排列。

3. 求一个排列中的逆序数。

4. 上，下，和对角型行列式的求法。

5. n级排列中奇排列和偶排列个数相等，各为n!/2个。

6. 行标自然排列，求列标组成排列的逆序数，从而判断行列式某几项乘积前应带的正负号（偶排列为正，反之为负）P9页上。

7. 行列式的性质：

（1）行列式与他的转置行列式相等（行列互换为转置行列式）。

（2）行列式可按行或者列提取公因式。

（3）数K与行列式相乘等于与行列式的某行或者某列的所有元素都乘以K。

（4）交换行列式的两行或者两列，行列式变号。

（5）行列式中两行或者两列的元素对应相等或者成比例，则行列式值为零。

（6）行列式的某一行或者列元素乘以K加到另一行或者列的对应元素上，行列式的值不变。

（7）行列式转换为三角形行列式时（便于计算行列式的值），行列转换可以混着用。

8. 余子式和代数余子式有区别P18

9. 行列式等于任意一行或者列的每个元素与其代数余子式的乘积之和。

10.行列式中某行或者列的各个元素与另一行或者列的对应元素的代数余子式的乘积之和

等于零。

11.克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组与齐次线性方程组有区别。

（2）搞清

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n

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1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。

第一章 行列式

1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。

2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。

总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。

第二章 矩阵

1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。

2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)

3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。

4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。

5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A可逆

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

工 程 数 学

线性代数讲义

Linear Algebra Materials

卫 斌 教授 主讲

惠州学院数学系

Department of Mathematics Huizhou college

2009年9月

第1,2讲

第一章 行 列 式

行列式（determinant [di't?:min?nt]）是研究线性代数（linear algebra['?ld?ibr?]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组

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