不等式在数列中的应用

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不等式与数列函数综合应用2

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不等式综合应用

一、知识梳理

1、 不等式的性质、均值定理、绝对值不等式定理 2、 不等式的解法、证法

3、 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系与区别 4、 线形规划,导数的应用。

1、)若实数a、b满足ab<0,则( )

A.|a-b|<|a|-|b| B.|a-b|<|a|+|b| C.|a+b|>|a-b| D.|a+b|<|a-b|

2

2、 设f(x)= x+ax+b,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则点(a,b)在aOb平面上的区域的面积是 ( )

A.

19 B.1 C.2 D. 227

3、 已知xy<0且x+y=2,而(x+y)按x的降幂排列的展开式中,第三项不大于第四项,那

么x的取值范围是 ( )

A.(??,0)?(0,) B.[,??)

5454C.(??,0) D.(??,]

544、 函数y?f(x?1)的图像如下图所示,它在R上单调递减.现有如下结论:①f(0)?1;

?1

不等式的应用(1)

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选修4-5不等式选讲

第8课时:不等式的应用(1) 陕西省西乡县第二中学数学教研组 余国庆

教学目标:1.初步会用均值不等式求函数的最值问题;

2.能综合运用函数关系,不等式知识解决简单的实际问题。

教学重点、难点:化实际问题为数学问题。 教学过程:

一 复习 1.均值不等式;

2.运用数学知识解决实际问题的一般步骤。

二 新课讲解

例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析:首先建立水池总造价关于一边长度的函数关系式,然后均值不等式求函数的最小值。

例2 甲,乙是两位粮食经销商,他们每次都会在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食,某月,他们共购进粮食3次,各次的价格不同,甲每次购10000kg的粮食,乙每次购10000kg的粮食,谁的购粮方式更经济? 分析:本题是购买粮食的问题,要搞清: 甲,乙两人的购粮次数, 购粮数量, 购粮单价以及每次购粮的钱款数等数量.再表示出甲,乙3次购粮的

1

实际问题 的解 检验

数学模 型的解 实际问题 审题、分 析、建模 数学模型 求解 平均每千克的粮价

均值不等式的应用

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均值不等式的应用

刘艺

【摘要】摘要:本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。

【期刊名称】教育教学论坛

【年(卷),期】2011(000)017

【总页数】3

【关键词】均值不等式;n次多项式;基本元素

设a1,a2,…,an∈R+,n∈N且n>1,则

(当且仅当a1=a2=…=an,时,“=”成立)

利用(*)式,能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用(*)式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便,不妨称满足(*)式中的a1,a2,…,an为基本元素,由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中,明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式,可选用a1,a2,…,an为基本元素,直接利用(*)式证明例1:设a1,a2,…,an∈R+求证(a1+a2+…+an)

分析:由于题目中明显含有和式(a1+a2+…+an)与,故可选ai和为基本元素,由(*)式着手解决。

简证:选ai和为基本元素,由均值不等式可得

证毕.

例2:设a1,a2,…,an为不相等的正数,且S=a1+a2+…+an,

数列、函数与不等式——第3部分 不等式证明

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数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式

数列、函数与不等式

及其试题设计

三、不等式证明 方法总结:

不等式的性质及常用的证明方法主要有:比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法.要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围.若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想,就能够证明不等式的有关问题.

A B 0 A B;作商比较:A B 作差比较的步骤:

①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.

②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和. ③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小. 2、综合法:由因导果.

3、分析法:执果索因.基本步骤:要证……只需证……,只需证…… ①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.

②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.

4、反证法:正难则反.

放缩法的方法有:

an; ②将分子或分母放大(或缩小); ③

利用基本不等式,如:log3 lg5 (④

lg3 l

数列型不等式放缩技巧九法

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数列型不等式的放缩技巧九法

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下九种:

一 利用重要不等式放缩

1. 均值不等式法

2例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证n(n?1)?Sn?(n?1).

22解析 此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11,n?k?k(k?1)??k???k?Sn??(k?),

222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b,

2若放成k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1),就放过“度”了!

22k?1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

2 a1???ana12???annn11???a1an?

不等式证明中的运用

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长江师范学院本科毕业论文·高等数学在中学不等式证明中的运用 1.引言

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段,在数学中具有举足轻重的地位. 可用推理性或探索性证明不等式。推理性问题即是指在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、分析法、综合法;在中学阶段,探索性问题大多是与自然数有关的证明问题,常采用观察-归纳-猜想-证明的思路,以数学归纳法完成证明。不等式是中学数学的基础和重要组成部分,它和函数、三角、数列、几何、极限等知识关系密切,相互渗透、相互作用,所以在高考中一直是考查的重点内容。由于在高中阶段我们学习的这部分知识都比较零散和难懂,很多同学都无法攻克不等式这一难关。

在高等数学的学习过程当中,一个重点和难点就是不等式的证明,大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手,实际上在许多不等式问题都存在一题多解,针对不等式的证明,总结了几种证明不等式的方法,即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

此文将把同学们学过的不同阶段的代数、几何、三角等方面的知识纵横联系、融会贯通,对中学数学中常用的一些证明方法进行归纳、总结,从而使读者在读完此文之后能够比较系统的、深入的掌握一些规律,学会一些方

均值不等式的应用(习题+答案)

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均值不等式的应用

均值不等式应用

一.均值不等式

1.(1)若a,b R,则a2 b2 2ab (2)若a,b R,则ab

2. (1)若a,b R*,则

a b2

*

a b2

22

a b时取“=”)

ab (2)若a,b R,则a b 2

2

ab(当且仅当a b时取“=”)

a b (3)若a,b R,则ab ) (当且仅当a b时取“=”

2

*

3.若x 0,则x

1x

“=”);若x 0,则x 2 (当且仅当x 1时取

1x

“=”) 2 (当且仅当x 1时取

若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当a b时取“=”)

x

x

x

3.若ab 0,则a b 2 (当且仅当a b时取“=”)

b

a

若ab 0,则

ab

ba

2即

2

ab

ba

2

2或

ab

ba

) -2 (当且仅当a b时取“=”

4.若a,b R,则(

a b2

)

2

a b2

(当且仅当a b时取“=”)

注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应

均值不等式的应用(习题+答案)

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均值不等式应用

一.均值不等式

1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2

22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则

ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22??

? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2

)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植

导数在不等式证明中的应用开题报告

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集宁师范学院本科生毕业设计(论文、创作)题目申报表

4、为结合学科竞赛;

5、模拟仿真;

6、其它

题目来源――A.指导教师出题;B.学生自定、自拟

集宁师范学院本科生毕业设计(论文、创作)任务书

集宁师范学院本科生毕业设计(论文、创作)开题报告

开题报告内容:(调研资料的准备与总结,研究目的、要求、思路与预期成果;任务完成的阶段内容及时间安排;完成毕业设计(论文、创作)所具备的条件因素等。

一研究内容:主要研究导数在不等式证明中的一些应用,其次研究导数的一些性质和证明不等式的一些方法;

二研究目的:不等式证明是数学学习中的重要内容之一,其常用的方法有:比较法, 分析法,综合法,归纳法,特殊不等式法。导数作为微积分学的主要内容,利用其证明不等式是一种行之有效的好方法,它能将某些不等式的证明化难为易,迎刃而解。

三研究方法:1.参考大量的相关文献及相关论文,通过中国知识网,中国学术期刊网等收集所需资料

2. 借助学过的专业知识,尤其是数学分析方面的知识和理论,微积分理论,深入分析题目,提出提纲,确定论文思路。

3. 整理导数在不等式证明中各种应用,并归纳总结。

4. 对各种应用进行比对,分析,并进行深入研究

四预期成果及形式:通过导数在不等式证明中的各种应用进行深入分析研

浅谈放缩法在不等式证明中的应用

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篇一:《放缩法在不等式的应用》论文

放缩法在不等式的应用

所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a,b为不相等的两正数,且a-b=a-b,求证1<a+b<

3

3

2

2

2

2

2

2

2

4。 证明:由题设得a+ab+b=a+b,于是(a+b)>a+ab+b=a+b,又a+b>0,得a+b>1,又

ab<

1(a+b),而(a+b)=a+b+ab<a+b+1(a+b),即3(a+b)<a+b,所以a+b<42

2

2

2

故有1<a+b<

例2. 已知a、b、c不全为零,求证:

a?ab?b?b2?bc?c2?c