拉氏变换的卷积定义

拉氏变换

2.5 拉氏变换与反变换

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间t为自变量的实变函数 f?t? ，它的定义域是 t?0，，那么f?t?的的拉普拉斯变换定义为

?stF?s??L?ft?ftedt????????0 (2.10)

?e?sts???j??s是复变数， （σ、ω均为实数）， 0称为拉普拉斯积分； F(s)是函数 f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 F(s)为 f(t)的象函数，而称 f(t)为 F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 F(s)。

1.单位阶跃函数

?1(t)的拉氏变换

单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能

的标准输入，这一函

拉氏变换和傅里叶变换的关系

一、拉氏变换

1、拉氏变换的定义：

如果有一个以时间t为自变量的实变函数 f?t? ，它的定义域是 t?0，，那么f?t?的的拉普拉斯变换定义为

?stF?s??L?ft?ftedt????????0 (2.10)

?e?sts???j??s 是复变数， （σ、ω均为实数）， 0称为拉普拉斯积分；

F(s)是函数 f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 F(s)为

?f(t)的象函数，而称 f(t)为 F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的

符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 F(s)。 2、拉氏变换的意义

工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算

附录A 拉普拉斯变换及反变换

表A-1 拉氏变换的基本性质

表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设

F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

（n m） F(s) nn 1

A(s)ans an 1s a1s a0

式中系数a0,a1,...,an 1,an，b0,b1, bm 1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s) 0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

n

cicncc1c2

F(s) i （F-1）

s s1s s2s sis sni 1s si

式中，s1,s2, ,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或

ci lim(s si)F(s) （F-2）

s si

ci

B(s)

（F-3）

A (s)s s

i

式中，A (s)为A(s)对s的一

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t为实变量，线积分

∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在，

0∞

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫ f(t)e-st dt

0

∞

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0

F(s)=￡[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s

0∞

∞ 0

微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 （微分方程解） 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0

t

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0

0 t<0

-st 2

F(s)=￡[f(t)]= ∫0 t edt =1/s

∞

f(t) t

3、等加速度函数

f(t) = 1/2 t2

实验五 循环卷积与线性卷积的实现

一、实验目的

（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理

两个序列的N点的循环卷积定义为

[h(n)?x(n)]N??h(m)x((n?m))N (0?n?N)k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环

卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N'?N1?N2?1；因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N?N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理

DFT{[h(n)?x(n)]N}?DFT[x(n)]?DFT[h(n)]

因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取ID

实验五 循环卷积与线性卷积的实现

一、实验目的

（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理

两个序列的N点的循环卷积定义为

[h(n)?x(n)]N??h(m)x((n?m))N (0?n?N)k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环

卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N'?N1?N2?1；因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N?N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理

DFT{[h(n)?x(n)]N}?DFT[x(n)]?DFT[h(n)]

因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取ID

信号与线性系统 阎鸿森 著

任意信号与冲激信号的卷积

任意信号与单位冲激信号

卷积的结果仍然是信号本身，即

任意信号与一个延迟时间为，即

的单位冲激函数相卷积的结果，相当于把信号本身延迟

卷积性质

1．时间卷积定理 若， 则

时间卷积定理的意义：两个时间函数卷积的付氏变换等于它们各个时间函数频谱函数得乘积，即时域中两个信号的卷积对应于频域中它们的频谱函数的乘积。

2．频率卷积定理 若， 则

信号与线性系统 阎鸿森 著

频率卷积定理的意义：两个时间函数乘积的付氏变换等于它们各自频谱函数的卷积乘以。换言之，时域中两函数的乘积对应于频域中频谱函数的卷积的

倍。

吉利大学理论力学课件

第十四章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程§1 动力学普遍方程 §2 拉格朗日方程

§3 拉格朗日方程的首次积分

吉利大学理论力学课件

§14-1 动力学普遍方程

由达朗伯原理: Fi Ni FIi 0 理想约束： N i ri 0 Fi FIi ri 0

由虚位移原理有： 动力学普遍方程

FIi mi ai

Fi mi ai ri 0

达朗伯---拉格朗日方程

吉利大学理论力学课件

将 Fi mi ai ri 0写成解析式i 1

x y z Fxi mi i xi Fyi mi i yi Fzi mi i zi 0n

应用特点： 1,是求解质点系动力学问题最普遍的方法。 2,对非自由质点系不必考虑理想约束的约 束反力，

吉利大学理论力学课件

14-3 已知：m , r , R ,只滚不滑， 求：圆体柱在平衡位置运动微分方程 解：圆体柱受理想约束

oR

s r RI r

实验一线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

实验报告

学号

专业班级

指导老师

分数

《数字信号处理课程设计》任务书

实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

一、 实验目的

目的：① 熟练掌握MATLAB 工具软件在工程设计中的使用；

② 熟练掌握线性卷积与圆周卷积的关系及LSI 离散时间系统系统响应的

求解方法。

要求：① 动态演示线性卷积的完整过程；

② 动态演示圆周卷积的完整过程；

③ 对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。

步骤：① 可输入任意2待卷积序列x1(n)、x2(n)，长度不做限定。测试数据为：

x1(n)={1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0}，

x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}；

② 分别动态演示两序列进行线性卷积x1(n)﹡x2(n)和圆周卷积x1(n)⊙

x2 (n)的

过程；要求分别动态演示翻转、移位、乘积、求和的过程；

③ 圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，但卷积前可以指定卷积长度N 用以进行混叠分析；

④ 根据实验结果分析两类卷积的关系。

⑤ 假定时域序列x1(n)、x2(n)的长度不小于10000，序列容自定义。利用 FFT 实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。

二、实验原理

1、线性

很详细实用

当逻辑门输出端是低电平时，灌入逻辑门的电流称为灌电流，灌电流越大，输出端的低电平就越高。由三极管输出特性曲线也可以看出，灌电流越大，饱和压降越大，低电平越大。逻辑门的低电平是有一定限制的，它有一个最大值UOLMAX。在逻辑门工作时，不允许超过这个数值，TTL逻辑门的规范规定UOLMAX ≤0.4～0.5V。

当逻辑门输出端是高电平时，逻辑门输出端的电流是从逻辑门中流出，这个电流称为拉电流。拉电流越大，输出端的高电平就越低。这是因为输出级三极管是有内阻的，内阻上的电压降会使输出电压下降。拉电流越大，高电平越低。逻辑门的高电平是有一定限制的，它有一个最小值UOHMIN。在逻辑门工作时，不允许超过这个数值，TTL逻辑门的规范规定UOHMIN ≥2.4V。

由于高电平输入电流很小，在微安级，一般可以不必考虑，低电平电流较大，在毫安级。所以，往往低电平的灌电流不超标就不会有问题，用扇出系数来说明逻辑门来同类门的能力。

扇出系数NO是描述集成电路带负载能力的参数，它的定义式如下： NO= IOLMAX / IILMAX

其中IOLMAX为最大允许灌电流，IILMAX是一个负载门灌入本级的电流。 No越大，说明门的负载能力越强。一般产品规定要求No≥8。