向量版的圆锥曲线定义

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

圆锥曲线定义的应用

一、基本知识概要

1、 知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；

双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， (2a |F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．

d

重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲

例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|

高中数学 选修2-1

姓名：宋锦芳 单位：江苏省靖江第一高级中学

复习回顾1.椭圆的定义： 平面内到两定点 F1,F2 距离之和等于常数 2a (2a>F1F2)的点的轨迹： 表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2)2.双曲线的定义： 平面内到两定点 F1,F2距离之差的绝对值等于 常数 2a (2a<F1F2)的点的轨迹： 表达式 |PF1-PF2 |=2a(2a<F1F2) 3.抛物线的定义： 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的 点的轨迹 ：表达式PF=d (d为动点到定直线距离)

列式 化简 代入 建系 设点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a,则2a>2c| PF1 |=

x + c x - c

y22

P( x , y )

+ y2

| PF2 |=

+ y2

则： x + c 2F+ -c ,2 0+O x - c c2 ,+ y 2 = 2a F2 0 x 1 y

x + c 2

2

+ y 2 = 2a -

x - c

2

+ y22 2

x + c + y 2 = 4a 2 - 4 a

x - c + y2 x - c + y22

圆锥曲线与平面向量

考纲透析

考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.

[来源:学科网ZXXK]圆锥曲线与平面向量的综合. 新题型分类例析

来源:[Zxxk.Com]1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l:y?kx?且OA?OB?2（其 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，

中O为原点）. 求k的取值范围.

xa22解：（Ⅰ）设双曲线方程为?yb22?1 (a?0,b?0).

由已知得a?3,c?2,再由a?b22?2,得b22?1.

故双曲线C的方程为

x23?y2?1.

（Ⅱ）将y?kx?2代入x23?y2?1得 (1?3k)x?62kx?9?0.

222??1?3k?0,由直线l与双曲线交于不同的两点得?

222????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.2即k?13且k2?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

xA?xB?62k1?3k2,xAxB??91?3k2,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2,

2而xAxB?yAyB?xAxB

高中数学 选修2-1

姓名：宋锦芳 单位：江苏省靖江第一高级中学

复习回顾1.椭圆的定义： 平面内到两定点 F1,F2 距离之和等于常数 2a (2a>F1F2)的点的轨迹： 表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2)2.双曲线的定义： 平面内到两定点 F1,F2距离之差的绝对值等于 常数 2a (2a<F1F2)的点的轨迹： 表达式 |PF1-PF2 |=2a(2a<F1F2) 3.抛物线的定义： 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的 点的轨迹 ：表达式PF=d (d为动点到定直线距离)

列式 化简 代入 建系 设点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a,则2a>2c| PF1 |=

x + c x - c

y22

P( x , y )

+ y2

| PF2 |=

+ y2

则： x + c 2F+ -c ,2 0+O x - c c2 ,+ y 2 = 2a F2 0 x 1 y

x + c 2

2

+ y 2 = 2a -

x - c

2

+ y22 2

x + c + y 2 = 4a 2 - 4 a

x - c + y2 x - c + y22

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

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高考数学重点提示之十七

圆锥曲线定义的应用 一、 知识体系

1、圆锥曲线的定义是指椭圆、双曲线的第一定义及椭圆、双曲线、抛物线的第二定义也称统一定义。对第一定义，一定要从曲线定义成立的条件去理解，对条件的各种变化去认识所形成的各种轨迹。而对统一定义，要能根据图形准确无误地把曲线上点P到焦点的距离（也称焦半径）转移到相应准线的距离去解决。其中一定要用到点P的横坐标或纵坐标。如点P的坐标没有直接给出，通常把点P坐标设为待定参数。这是用第二定义解题的通规通法。

2、必须通过做一些典型题目明确什么时候用第一定义或用第二定义。一般地，当问题涉及到两焦点的距离和差或者曲线上的点与两焦点构成的三角形中的一些问题（如三角形面积、边长、角度、三角形中的一些最值、范围等）时，应考虑用第一定义并结合三角形中面积公式、余弦定理、勾股定理或正弦定理去解决问题。而当问题涉及到过焦点的弦长、曲线的一个点到一个焦点的距离问题（当这个点的坐标条件为已知或要求时尤其如此）时，应用第二定义转化到焦半径公式去解决。总之，你若要巧妙的解题，千万不要

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

62

圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的