初三数学圆综合难题

实验中学--YUJYU

2006年中考“圆” 热点题型分类解析

1．（2006，泉州）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D?在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______

CABODwww.czsx.com.cn

(1) (2) (3) (4)

2．（2006，哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．

3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，?GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm． 4．（2006，旅顺口区）如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________． 5．（2006，盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，大连）如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC?的周长为______．

7．（2006，盐城）如图5，AB是⊙O

圆难题压轴题答案解析

1. 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r， 当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H， ∴BH=AB?cosB=4， ∴AH=3，CH=4， ∴AC==5， ∴此时CP=r=5； （2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形， ∵CE=CP， ∴四边形APCE是菱形， 连接AC、EP，则AC⊥EP， ∴AM=CM=， 由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B， ∴CP=CE=∴EF=2=， =； （3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N， ∵cosB=4， 5∴∠B＜45°， ∵∠BCG＜90°， ∴∠BGC＞45°， ∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B， ∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合， ∴只能∠AGE=∠AEG， ∵AD∥BC， ∴△GAE∽△GBC， ∴=，即=， 解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1， ∴CE===． 2. 解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切， 当点P在第四象限时， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示． 设y=x的图象与x轴的夹角为α． 当x=1时，y=． ∴tanα=． ∴α=60°． ∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60

圆综合（上）

【例1】

如图，内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M。 ⑴请你仔细观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形； ⑵求证：BM2＝BE·ME。

⑶设BE，ME的长是关于x的一元二次方程x2?25x?k?0的两个根，求k的值，并求出正五边形ABCDE的边长。

【例2】

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°。BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K两点，作MT⊥BC于T。 ⑴求证：AK＝MT； ⑵求证：AD⊥BC； ⑶当AK＝BD时，求证：

BNAC。 =BPBM

【例3】

以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边AC交于点D，E为BC上中点，连接DE。 ⑴求证：DE是圆O切线。

⑵连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形。并在此条件下求sin∠CAE的值。

1

【例4】

如图，AB、BC分别是⊙O的直径和弦，点D为

上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于

点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC＝HG。连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME。 ⑴求证：DE⊥AB；

⑵∠HMD＝∠MHE＋∠MEH。

2

初三数学----圆（第24章）复习指导

一、本章知识要点：1.圆的概念、性质。

2.与圆有关的位置关系（点、直线、圆）， 3.正多边形与圆 4.有关圆的计算

二、考纲要求: 圆在初中数学体系中处在核心地位，是中考的重头戏，占题量的15％—

20％。有选择题、填空题、解答题、作图题（包括阅读理解题、开方探索题）。圆与三

角形、方程、函数等知识点相结合可构成内容丰富、题型新颖、构思精巧的综合性试题，成为中考的热点。

三、学法指导：1.准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题， 2.能灵活运用圆及与圆相关知识的解题。 四、内容归纳：

第一课时

1. 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点

A所形成的图形叫做圆。固定是端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆上各点到

定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）。到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 同时我们又把

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半

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圆综合复习

一、本章知识框架

二、本章重点 1．圆的定义：

2．判定一个点P是否在⊙O上． 3．与圆有关的角 (1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角： 4．圆的性质：

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在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、

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圆综合复习

一、本章知识框架

二、本章重点 1．圆的定义：

2．判定一个点P是否在⊙O上． 3．与圆有关的角 (1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角： 4．圆的性质：

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在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、

九上第二十三章圆测试题

姓名 成绩

一、填空题。（16×3=48）

1、 如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是 ° 2、 如图，⊙O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为________cm；

3、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所如果油面宽AB 8m，那么油的最大深度是 m. C 4、如图，AB、AC是⊙O的弦， BOD = 140 , 则 BCD的度数为 5、在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的圆心角是 度。 6、已知：⊙O1与⊙O2的半径分别为2和3，若两圆的相交。 则圆心距d的取值范围是 。

A

⑦

B

C

7、如图，在△ABC中,∠ACB=90°.AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心以cm长为半径画圆则A、B、M三点在圆的外是 .在圆上的是 。 8、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为 。

9、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ．

（1）求证：∠ACE=∠DCE ；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；

（3）若AC=4，

23

CDF COE S S ??=，求CF 的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343 【解析】

【分析】 （1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证12COE

CAE S S =，由于23CDF COE S S =，所以CDF

CAE S S =13

，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案．

【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴

确定圆的条件（二）

课题 确定圆的条件（二） 单位 38中 课时 一课时 姓名 王霞 教学目标设计(一)教学知识点 重1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 点2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． (二)能力训练要求 难点3、培养学生观察、分析、概括的能力； 4、培养学生言必有据和准确简述自己观点的能力． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实教法践能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学程序设计 教材处理设计 圆内接四边形的性质定理 理解“内对角”这一重点词语的意思． 教师指导组织学生进行自主探索合作交流． 师生互动设计 一、新课引入：（1分钟） 二、自主探究：（8分钟）

一、新课引入： 教师板书课题“4.8圆内接四边形”．根同学们，前面我们学习了圆内接三角形和三角形的外接圆的概念．本据学生已有的实际知识水平及本节课所要讲节课我们学习圆的内接四边形概念，那么什么叫做圆的内接四边形呢？的内容，首先点题，有意让学生从圆内接三二、自主探究： 角形的概念正

2004年初三数学（总）综合训练题12（两圆关系）

一、填空题

1．两圆有三条公切线，那么这两圆的位置关系是 ；

2．若两圆外切，圆心距为16 cm，且两圆的半径之比为5：3，则大圆的半径为 ， 小圆的半径为 ；

3.已知P为边长是2的正六边形ABCDEF内一点，P点到各边的距离分别为h1、h2、h3 h4、h5、h6，则h1＋h2＋h3+h4＋h5＋h6＝

4．两圆圆心距d?8，两圆半径的长分别是方程x2?7x?11?0的两个根，则这两圆的位置关系是 ；

25．已知两圆的半径R,r（R?r）是方程x?3x?1?0的两个根，两圆的圆心距为d，

若d?4，则两圆的公切线有 条；

二、选择题

6．两圆相切，则公切线的条数为-------------------------------- -（ ）

A 、1 条； B、 2 条 ； C、 3 条 ； D 、1条或3条；

7．若两圆的半径分别为R、r（R?r），圆心距为d，且d?R?r，则两圆的位置关系为----------------