三角函数在数学解题中的应用

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探讨三角函数在解题中的应用

标签:文库时间:2025-02-15
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探讨三角函数在解题中的应用

豆昌韬

数学与信息学院数学与应用数学09级 指导教师:郭潇

摘要:三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例,三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点。三角函数是数学教学中的重要内容之一。在解题过程中,三角函数常常与三角形密切结合在一起,灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。本文介绍了三角函数的来历以及发展,并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题,并且介绍了一些有关三角函数的数学思想。

关键词:单位圆 三角函数 三角形 公式定理 单调性 奇偶性 数学思想

A survey to the appliance of trigonometric functions in math

problem solving

Dou Changtao

College of mathematics and information math and applied math grade

对号函数在数学解题中的应用

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函数问题的解答

对号函数在数学解题中的应用

在求函数的最值或值域时,有些函数不能用均值不等式,主要是由于等号不成立,而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质,使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数y ax

bx

(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似

bx

ba

符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ax

bx

ba

2

(当且仅当ax R+)的性质: 当x

ba

即x 时取等号),由此可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R+)有最小值2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最小值2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(0,)上是减

函数,在区间(,+∞)上是增函数。

bx

因为函数y ax

-

(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R)的性质: 当x

ba

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最大值-2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上

对号函数在数学解题中的应用

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函数问题的解答

对号函数在数学解题中的应用

在求函数的最值或值域时,有些函数不能用均值不等式,主要是由于等号不成立,而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质,使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数y ax

bx

(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似

bx

ba

符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ax

bx

ba

2

(当且仅当ax R+)的性质: 当x

ba

即x 时取等号),由此可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R+)有最小值2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最小值2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(0,)上是减

函数,在区间(,+∞)上是增函数。

bx

因为函数y ax

-

(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R)的性质: 当x

ba

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最大值-2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上

对号函数在数学解题中的应用

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函数问题的解答

对号函数在数学解题中的应用

在求函数的最值或值域时,有些函数不能用均值不等式,主要是由于等号不成立,而用单调性又难以判断与证明。掌握对号函数的性质,使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数y ax

bx

(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似

bx

ba

符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ax

bx

ba

2

(当且仅当ax R+)的性质: 当x

ba

即x 时取等号),由此可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R+)有最小值2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最小值2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(0,)上是减

函数,在区间(,+∞)上是增函数。

bx

因为函数y ax

-

(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R)的性质: 当x

ba

时,函数y ax

bx

(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-2

bx

ba

,特别地,当

ba

a=b=1时函数有最大值-2。函数y ax

ba

(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上

浅谈函数在数学解题中的应用

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龙源期刊网 7a832a4379563c1ec5da7187

浅谈函数在数学解题中的应用

作者:金建忠

来源:《职业·下旬》2010年第04期

思维品质是个体思维活动特殊性的外部表现,它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维

的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中

数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题时如不加以注意,则会使人“误入歧途”。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对于提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时,必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误的。

例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100 m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。

解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得

S=x(50-x)

故函数关系式为S=x(50-x) 。

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。因为当自变量取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补

初四数学三角函数应用

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解直角三角形的应用(一)

文化二中孙雪红

一、教材分析:

解直角三角形的应用是鲁教版九年级上册第一章第五节的内容,本节课的教学是第一课时,通过本节的学习,应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决一些实际问题,从而进一步把形和数结合起来,提高分析和解决问题的能力,它既是前面所学知识的应用,也是高中继续解斜三角形的重要预备知识,它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归),在本节教学中应有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、学情分析:

1、本节是学生已经学习了解直角三角形的有关知识的基础上进行的,通过本节的学习,可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用。本节课的知识点不是很多,但是是数学建模思想和转化思想的体现,学生不易掌握,学生只有通过积极参与课堂,才能提高分析问题和解决问题的能力,并且在意志力、自信心和理性精神等方面得到了良好的发展。

2.教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者和帮助者,应依据教材特点创设问题情境,从学生已有的知识背景和活动经验出发,帮助学生取得成功。

三、教学目标:

1、知识与技能目标:会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题;完成简单的实习作业。

2、过程与方法目标:经历利用三角函数知识解决实际问

三角函数三角函数的诱导公式

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三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问,引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性,我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道:

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到:y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

三角函数的概念和同角三角函数

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典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:

①?120?;②640?;③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S, 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?: ①80?;②?51?;③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度;

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度;⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式,并判断其所在象限.

19π; 3(2)-315°; (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是()

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?;⑵1110?;⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3,3),则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?,3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?,

三角函数的概念和同角三角函数

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典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:

①?120?;②640?;③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S, 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?: ①80?;②?51?;③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度;

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度;⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式,并判断其所在象限.

19π; 3(2)-315°; (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是()

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?;⑵1110?;⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3,3),则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?,3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?,

三角函数辅助角公式应用20170313

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辅助角公式应用20170313

基础知识:化asin? 解: asin?+bcos?=?bcos?为一个角的一个三角函数的形式. a2?b2(aa?b222sin?+ba?b22cos?),

① 令aa?b22=cos?,

ba?b2=sin?,

② 顺序:要使正弦在前,余弦在后;系数:分析好a、b,正弦系数为a、余弦系数为b。 例题:例1、试将以下各式化为Asin(???)?A?0?的形式. (1)31sin??cos?(2)sin??cos?(3)2sin??6cos? (4)3sin??4cos? 22

例2、试将以下各式化为Asin(???)(A?0,??[??,?))的形式. (1)sin??cos? (2)cos??sin? (3)?3sin??cos? 例3、若sin(x?50?)?cos(x?20?)?3,且0??x?360?,求角x的值。 例4、若3sin(x?4、课堂练习

??????(1)、3sin?????3cos???? =________________(化为Asin(???)?A?0?的形式)

66?????12)?cos(x??12)?2?,且 ??x?0,求sinx?cosx的值。

23(2)