拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式

拉格朗日插值多项式

数值计算方法上机报告

学院：计算机与通信学院班级：计算机科学与技术姓名：柴小辉学号：

拉格朗日插值多项式

05级3班 05240326

拉格朗日插值多项式

尽管满足插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,2,…,n) (1) 的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式却可以有多种形式。如果取满足条件

1 i＝k

lk(xi)= (i=0,1,2,…,n) (2) 0 i≠k

的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、ln(x)作为上述线性空间的基，容易看出

y0l0(x)+ y1l1(x)+ …+ynln(x)=∑yklk(x) (3)

必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、xn 上的值依次是 y0、y1、…、yn也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、 y1l1(x)、 …、ynln(x)线性生成的多项式（3），就满足插值条件（1）的n次插值多项式。 满足

拉格朗日多项式插值法浅析

摘要

拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。

【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB

在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用y?f(x)来表示其某种内在规律的数量关系。但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映f(x)的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.10.25

1.实验目的：

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

2.实验内容：

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。 已知下列函数表

求x=0.5635时的函数值。

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

3.程序流程图：

● 拉格朗日插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

●牛顿插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

4.源程序：

● 拉格朗日插值法：

function [] = LGLR(x,y,v)

x=input('X数组=：');

y=input('Y数组=');

v=input('插值点数值=：');

n=length(x);

u=0;

for k=1:n

t=1;

for j=1:n

if j~=k

t=t*(v-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

u=u+t*y(k);

end

disp('插值结果=');

拉格朗日插值绘制龙格现象

一、问题叙述

龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。 二、理论分析

1. 拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点x0?x1??xn ，已知函数值

y0?f(x0),y1?f(x1),,yn?f(xn)

求n次多项式Ln(x)使其满足插值条件f(xj)?yj(j?0,1,,n)

类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数

lk(x)?(x?x0)?(x?xk?1)(x?xk?1)?(x?xn)

(xk?x0)?(xk?xk?1)(xk?xk?1)?(xk?xn)?1j?k每一个基函数都是零点多项式lk(xj)??,(j?0,1n)

0j?k?Ln(x)满足插值条件 Ln(xj)?f(xj)拉格朗日插值基函数：lk(x)??j?0j?kn(j?0,1,,n)

(x?xj)(xk?xj)拉格朗日插值多项式：Ln??lj(x)yj

j?0n2. 切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3

篇一：多项式乘多项式试题精选(二)附答案

多项式乘多项式试题精选（二）

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片 _________ 张．

2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=．

3．若（x+p）（x+q）=x+mx+24，p，q为整数，则m的值等于

4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片 _________ 张，B类卡片 _________ 张，C类卡片 _________ 张．

2

5．计算：

（﹣p）?（﹣p）=

（6+a）= _________ ．

6．计算（x﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x项，则常数m的值为 _________ ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖

2223=2xy?（）=﹣6xyz；（5﹣a）2

8．若（x+5）（x﹣7）=x+mx+n，则m=，n=．

9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是

10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米

数值逼近课程的内容,用C语言实现的拉格朗日插值方法,可以随时增加一个点,也可以随时算出某个点的值,还可以算出插值多项式,功能很全

#include<stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define M 20;

int n=0;

int p=1;

int num=0;

double *x;

double *y;

double Calculate(double tt) ;

void Insert(int m);

void Print( );

void NewTon(int m)

{

double tt;

Insert(m);

Print( );

printf("是否继续进行插值、计算还是结束？继续插值请输入1，结束请输入0，求值计算请输入2；p=");

scanf("%d",&p);

printf("\n");

while(p!=0)

{

if(p==1)

{

printf("请输入再次插值点个数num=");

scanf("%d",&num);

NewTon(num);

}

else if(p==2)

{

printf("请输入x=")

插值和曲线拟合

摘要：本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

关键字：拉格朗日插值 曲线拟合 数值解 截断误差

一、问题描述与分析

已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin度。

1、插值法的概念

插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y?f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y??(x)，使函数在观

2?的数值解，并由余项公式估计计算结果的精9?6?4?3测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数在y??(x)点x处的值来估计未知函数y??(x)在x点的值。寻找这样的函数?（x），办法是很多的。?（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；?（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分

实验报告

2009级 数学与应用数学班 2011年11月19日 姓名： 学号： 1、 实验目的

用尾插法建立一元多项式的链表，验证是否实现，并进行两个多项式的相加运算 2、 需求分析

本程序用TC编写，完成尾插法一元多项式的链表，并验证，及完成相加运算。

① 输入的形式和输入值的范围：输入多项式每一项的系数、指数，输入的所有系数

和指数均为整数。 ② 输入的形式：输出多项式各项的系数、指数。

③ 程序所能达到的功能：完成单链表的建立，及相加操作。 ④ 测试数据：1+1

多项式1: 2x^0+3x^3+7x^5 多项式2: 4x^1+3x^3+-4x^5

3、 概要设计

本程序有两个程序段：

a. 主函数 main;

b. 创建多项式函数 polycreate; c. 多项式相加函数 polyadd;

d. 多项式输出函数 print;

4、 详细设计 #include #define OK 1; #define error 0; #define TURE 1; #define FALSE 0;

typedef struct Polynode {

int coef; int exp;

struct Polynode *next;

第4章 《多项式的运算》上课教案

第1课时

课题：4.1多项式的加法和减法(1) 教学目的：

1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程：

一、知识准备：

1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。

2、单项式

?2xy332的系数是?2、次数是 3 。

323、多项式3m?2m?5?m是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+