数学轴对称小报

轴对称

第一部分：作图

【例1】 如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、

Q两点的距离也相等。

l1 P A Q l2

【例2】 如图所示，已知P、Q使△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC边上确定一点R，使△PQR的周长

最短吗？

【例3】 如图，AF平方∠OAE，M是射线AF上的一个动点，N是线段AO上的一个动点，判断是否存在点

M、N，使得OM+MN的值最小？若存在，请作出M、N点，并加以说明；若不存在，请说明理由.

E

F

A M

O

【例4】 如图，四边形ABCD的长方形的台球桌面，有黑白两球分别位于E、F两点试问怎样撞击黑球E，

才能使黑球E先碰撞台边CD反弹后再碰撞BD最后击中白球F？在图中画出黑球的运动路线。

1

第二部分：最短路径

【例5】 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路

的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A、1处 B、2处 C、3处 D、4处

l1l2l3

【例6】 如果P是异于点Q的一点，你能证明AP+BP> AQ+BQ吗？

【例7】 学生要在N、M之间种树，从两端开

长沙市雨花实验中学数学教案 八年级 数学备课组

课题：13.1.1 轴对称

[教学目标]：1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。

2．了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质，

3．通过独立思考、小组合作，发展学生的观察、归纳能力，感受对称美。

[教学重难点]：对轴对称图形与轴对称概念的理解；垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质；轴对称图形与轴对称的联系与区别。 [教学过程]： 一、情景导入：

观察课本P58图13.1-1和图13.1-2，体会对称现象的无处不在，观察对称图形的共同特点.

二、问题导学：

阅读教材P58-60，完成下面填空：

1.轴对称图形的定义： 叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 ，我们也说这个图形 。 ．．2.轴对称的定义：

第十六章 轴对称与轴对称图形复习导学案

学校 张店中学 年级 八年级 执笔 张艳丽

建议两课时 学习目标：

1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质。

2.结合生活实例，欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象，感受对称的美学价值，体验几何图形与自然、社会、人类的生活，增强学习数学的兴趣。 3.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用。 4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。

5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的轴对称图案。

重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。 难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用，镜面对称下图形的变化。 导学过程： 课前预习与导学 欣赏下面几张美丽的图片，回顾本单元的知识结构

1.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图形能够 ，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做______。图形上能够重合的点叫 。 分别在上面图形中画出它们的对称轴。

2.轴对称：欣赏下面几幅图片，并完成问题。

1

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够

长沙市雨花实验中学数学教案 八年级 数学备课组

课题：13.1.1 轴对称

[教学目标]：1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。

2．了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质，

3．通过独立思考、小组合作，发展学生的观察、归纳能力，感受对称美。

[教学重难点]：对轴对称图形与轴对称概念的理解；垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质；轴对称图形与轴对称的联系与区别。 [教学过程]： 一、情景导入：

观察课本P58图13.1-1和图13.1-2，体会对称现象的无处不在，观察对称图形的共同特点.

二、问题导学：

阅读教材P58-60，完成下面填空：

1.轴对称图形的定义： 叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 ，我们也说这个图形 。 ．．2.轴对称的定义：

第十二章 《轴对称》 教案

§12．1 轴对称（一）

教学目标

1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点：轴对称图形的概念．

教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性??对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课

出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特

M O

D C B A 21°

46°O E D

C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”

陆 腾 宇

（江苏省常熟市昆承中学，215500）

许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．

1 利用轴对称计算角的度数

例1 如图，在ABC 中，44BAC BCA ∠=∠=?，M 为ABC 形内一点，使得30MCA ∠=?,16MAC ∠=?．求BMC ∠的度数．

（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 由44BAC BCA ∠=∠=?，得AB AC =，92ABC ∠=?． 作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ．

易知BD 是ABC 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=?， 443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=?-?=?， 301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=?-?=?．

所以BAO MAO ∠=∠．

又9060AOD OAD COD ∠=?-∠=?=∠,所以120AOM AOB ∠=?=∠．

又OA OA =，所以ABO ≌AMO ．

故OB OM =．

由于120BOM ∠=?，从而3

M O

D C B A 21°

46°O E D

C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”

陆 腾 宇

（江苏省常熟市昆承中学，215500）

许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．

1 利用轴对称计算角的度数

例1 如图，在ABC 中，44BAC BCA ∠=∠=?，M 为ABC 形内一点，使得30MCA ∠=?,16MAC ∠=?．求BMC ∠的度数．

（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 由44BAC BCA ∠=∠=?，得AB AC =，92ABC ∠=?． 作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ．

易知BD 是ABC 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=?， 443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=?-?=?， 301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=?-?=?．

所以BAO MAO ∠=∠．

又9060AOD OAD COD ∠=?-∠=?=∠,所以120AOM AOB ∠=?=∠．

又OA OA =，所以ABO ≌AMO ．

故OB OM =．

由于120BOM ∠=?，从而3

轴对称专题培优训练1

一、解答题

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，交BC于D，交AC于E，且DE=2cm，求BC的长．

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长．

3．如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．

4．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．

5．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

6．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．

（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．

7．如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM． （1）求证：BE=CF； （2）求证：BE⊥CF； （3）求∠AMC的度数．

8．如图，点D是△ABC的边BC上一动点，且A

课题 9．2轴对称的认识1．简单的轴对称图形 时:2005________ 第二课时 角平分线 教学目标 使学生知道角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，掌握角平分线的性质，并能运用它解决相关问题经历探索简单的轴对称性的过程；进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。探索并了解角的平分线，线段的垂直平分线的有关性质，并能适当地进行简单应用。通过活动培养学生研究轴对称图形的思想方法。情感与态度目标： 通过学生自己动手实践探索，去体会获得知识的快乐。 教学重点 教学难点 教学方法 教学用具 环保教育 角平分线上的点到角两边的距离相等 运用角平分线性质解决问题通过操作，理解结论产生的过程 观察----动手----交流-----探索相结合 一些关于轴对称的图片、半透明纸张；几何做一个 教学过程：一、复习引入 1．点到直线的距离的定义是什么? 2．角是轴对称图形吗?对称轴是哪一条直线? 轴对称图形的概念和对称轴的概念。生活中的轴对称图形的实例。几何中有否有轴对称图形

线段垂直平分线性质定理与判定定理分别是什么？到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

二：创设情境，提出问题，引入新课

（在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将

轴对称专题培优训练1

一、解答题

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，交BC于D，交AC于E，且DE=2cm，求BC的长．

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长．

3．如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．

4．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．

5．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

6．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．

（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．

7．如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM． （1）求证：BE=CF； （2）求证：BE⊥CF； （3）求∠AMC的度数．

8．如图，点D是△ABC的边BC上一动点，且A