空间向量基本定理教学反思

3.1.3空间向量基本定理

教学目标：

1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一向量可以用三个不共

面的向量线性表示，并且这种表示是唯一的。

2.在简单的问题中，会选择适当的基底表示任一空间向量

教学重点：空间向量基本定理

教学难点：会用适当的基底表示任一空间向量

教学过程：

一.复习回顾

1、平面向量共线定理

2、平面向量基本定理

3 共面向量定理:

问题思考：空间任意一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？

二数学建构

空间向量基本定理：

基底：

单位正交基底：

说明：1、空间中任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底；

2、由于零向量可以认为与任意一个向量共线，与任意两个向量共面，所以三个

向量不共面，就隐含着它们都不是零向量；

3、一个基底是一组向量，一个基向量是基底中的某一个向量.

推论：

三 典型例题

例1.已知向量 是空间的一个基底，从

中选哪一个向量，一定可以与向量 ， 构成空间的另一个基底？

变式：已知空间四边形OABC ，M 和N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且使MG=2GN ，试用基底 表示向量 .

{,,}a b c ,,a b c =+p a b =-p a b

''''',,

平面向量基本定理教学设计

２

黎栋材１，　王尚志１

（）首都师范大学数学科学学院　１北京师范大学附属实验中学　１１．０００４８；２．０００３２

］就《平面向量基本定理》的教学重点进１　　文［

并就定理本身给出了两点具体的建议，行了分析，

很受启发．文［基于新课程理念，为平面向量的２］教学提出宝贵的建议．笔者认为，中学数学教学除还需要以学生的了要高观点认识数学本质之外，

认知水平，在学生已有知识上建构新的知识体系，从而发展学生的思维能力．１　内容及地位分析

１．１　向量改变学生对运算的认识

向量是近代数学的产物，是非常重要和基本的概念之一．向量具有一套与数的运算截然不同特别是向量的数量积属于“的运算系统，Ｖ×Ｖ→的运算，这对学生而言是一次对运算认识的Ｒ型”

２］

，而平面向量基本定理则是统一不同运算飞跃［

系统中转站，是展示数学魅力的良好载体．１．２　平面向量基本定理是沟通数与形的桥梁平面向量的加法、减法以及实数与向量的积均体现向量的几何特征，一旦有了平面向量基本平面内的向量便与一对有序实数构定理作保证，

建了一一对应的关系，于是，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积、两个向量平行与垂直、两个向量的夹角等都可以转化为代数运算，从另外，利用向而实现向量

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《平面向量基本定理》教学设计

一、教学内容

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4(人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。 二、教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式（因条件限制，不使用多媒体）。 三、三维目标 1、知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。 （2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。 2、过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通

平面向量基本定理

2014年9月18日星期四

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2014年9月18日星期四

如: 已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2014年9月18日星期四

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2014年9月18日星期四

知识点一

平面向量基本定理a,

1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量

平面向量基本定理

2014年9月18日星期四

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2014年9月18日星期四

如: 已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2014年9月18日星期四

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2014年9月18日星期四

知识点一

平面向量基本定理a,

1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.3+4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示课后知能检测 苏教版选修2-1

一、填空题

1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．

【解析】 命题q中，{a，b，c}为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a，b，

c为非零向量，且为不共面向量．故q?p，p【答案】 必要不充分

q，所以命题p是命题q的必要不充分条件．

2．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a＋b，b－a，a}； ②{a＋b，b－a，b}； ③{a＋b，b－a，c}; ④{a＋b＋c，a＋b，c}．

【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③

3．已知{i，j，k}为空间的一个基底，若a＝i－j＋k，b＝i＋j＋k，c＝i＋j－k，d＝3i＋2j－4k，又d＝α a＋β b＋γc，则α＝________，β＝________，γ＝________.

α＋β＋γ＝3??

【解析】 由题意知：?－α＋β

平面向量基本定理

2015年4月3日星期五

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2015年4月3日星期五

如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2015年4月3日星期五

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2015年4月3日星期五

知识点一

平面向量基本定理

1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量 a,

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计） 2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

[教学目标] 一、知识与能力：

1． 了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

二、过程与方法：

体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

??????????????????结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb

????3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如

平面向量的基本定理及坐标表示

主备人：王桂香 复核人：王月珍 时间：2014-12-18

【学习目标】 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.

2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量 解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能 够用基底来表达.

3.了解向量的夹角与垂直的概念。 【教学重点】平面向量基本定理；

【教学难点】平面向量基本定理的运用。 一、【复习回顾】

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

?2．怎样理解向量的数乘运算λa？ ??（1）模：|λa|=|λ||a|； ?????（2）方向：λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 ????3. 向量共线定理 ：向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、【自主预习】

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.

????????探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量b=3e1+2e2、c