高数不定积分与定积分试题

高数不定积分：巧辩题型，不仅仅是刷题

高等数学又被称为“微积分”，顾名思义，高等数学主要是研究微分与积分这一对儿矛盾的，既然是一对儿矛盾，那么从概念到计算法则想必都是一一对应的，是不是这样呢?下面，凯程考研数学组老师就从“矛盾”这一角度重新来看看不定积分的基本计算方法，希望帮助大家更深刻地去理解不定积分及其计算。

首先，回顾一下函数的求导法则：

从这种对应的角度重新去看不定积分与求导法则之间的关系，是不是更有利于理解不定积分的积分法呢?这是从整体框架上帮大家认识积分法则，当然具体到题目就需要同学们练就一双火眼金睛，能快速分析出题目所属类型，相应作出正确的处理，那么就需要我们再从“微观”的角度，细致的去分析如何从被积函数分析出使用哪种方法合适，每种方法在考查的时候又有有何技巧呢?以下内容将和大家一起探讨。

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此外，换元积分分为第一类换元积分与第二类换元积分，从本质上讲是换元积分公式的正向运用与反向运用。就识别来说，第一类换元积分被积函数包含原函数与导函数，第二类换元积分则主要解决被积函数中含有根式的情况，如果含有一次根式，则使用代数换元，将整个根式替换掉，如果含有二次根式则需要使用三角换元。不管是代数换元还是三角换元

高等数学 同济第六版上

第四章 不定积分微分法: F′(x) = ( ? ) 互逆运算 积分法: ( ? )′ = f (x)

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第一节 不定积分的概念与性质一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质

第四章 四

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一、 原函数与不定积分的概念引例: 引例 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度

A 因此问题转化为: 已知 v′(t) = sint , 求 v(t) = ? m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sint 的原函数有 cos t, cost + 3,L m m m目录 上页 下页 返回 结束

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问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .

(下章证明 下章证明) 下章证明

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

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南京航空航天大学数学系 考研辅导班高等数学辅导课件 （微积分第 部分） （微积分第一部分） 2010年 2010 年7月

第四课：不定积分与定积分

一、内容概要 、内容概要 ? 定积分的概念与性质 ? 不定积分与定积分的计算 ? 反常积分的计算

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010) 考试内容: 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中 值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨 公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010) 考试要求: 1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念． 2 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分和定积分的 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的 性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积 求 数 数 简 数 分． 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱 布尼茨公式． 布尼茨公式 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

注意: 该

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不定积分、定积分 测验试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、选择题：（每小格3分，共30分）

1、设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a

?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x

e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0

x x e c x F x e c x -?+≥=?-+

3、设01,0

()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-

?，则（ ） （A ）()F x 在0x =点不连续；

（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；

（C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

不定积分 （Ａ）

１、求下列不定积分

dx１）?x2 ２）?dxx2x ３）?(x?2)2dx ４）?x21?x2dx

2?3x?5?2xcos2５）?3xdxxdx ６）?cos2xsin2x

31７）?(2ex?x)dx(1? ８）?x2)xxdx

２、求下列不定积分（第一换元法）

3dx１）

?(3?2x)dx

２）

?32?3x

３）

?sinttdtdx ４）?xlnxln(lnx)

dx５）?cosxsinx ６）?dxex?e?x ７）?xcos(x2)dx3x3dx ８）?1?x4 sinxcosxdx９）?3 10）?1?x9?4x2dx

dx11）?2x2?1 12）?cos3xdx 13)?sin2xcos3xdx

14)?ta

不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个？ 一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。则 （1）

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???（2） ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

（3） （4） ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3．原函数的存在性 1）设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

2二、基本积分公式 1．?xdx?1aa?1?C （a??1，实常数）

2．?dx?lnx?C

x3．?adx?x1lnaxa?C （a?0，a?1）

x?exdx?e?C

4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?co

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们