复变函数第二章答案详解余家荣

可复制、编制，期待你的好评与关注！ 第二章 解析函数

1．用导数定义，求下列函数的导数：

(1) ()Re .f x z z =

解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z

?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z

?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z

?→?=+?+? 000

Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.

2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =?

解:

22222222()||()()

()(),f z z z z z z z z

x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++

这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+

2222222,

2,

2,2.x y y x u x y x v

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第二章小结

本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有

一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导

1. 解析与可导的关系：

区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念

2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等

3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法

(1). 可导定义

(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论

a. 判断可导：可微性、C-R方程

b. 求导：f'(z) u v i x x

4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：

拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数

二、与初等函数有关的问题及要求

1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式

2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别

ez仅是一个记号、指数函数的周期为2k i(k Z)；负实数的对数有意义、Lnz nLnz,L 1

nn在复数范围内不再成立；ab ebLna(a 0)；Lnz

sinz 1,cosz 1在复数范围内不再成立

三、

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第二章

复变函数积分

20

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数学物理方法习题解答

21

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第二章

复变函数积分

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数学物理方法习题解答

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实变函数论课后答案第二章4

第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,

,

n r r r r Q =.

则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1

i i Q r ∞==

是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.

这里用到：Baire 定理，设n

E R ?是

F δ集，即1

k k E F ∞==.

k F ()1,2,k =是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点

（最后再证之） 反证设{};1,2,i Q r i ==为G δ集，即1i i Q G ∞

==，

（i G 为开集，1,2,i

=

）

1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =?.

证明：任取1

R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

12,,

,,

m x x x （可为有限）

设1

R 中的有理数为{}12,,

,

,,n Q r r r f =?∈

令

()()()()()()()()(){}2

1111,,,,

,,,,i

i

i

i

f x f x r f r x f x r f r R

?=?.

则()f ?为2

R 中可数集.

若,f g ∈，使()()f g ??=，则()()

(),i i

第二章 点 集

在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n维欧几里得空间Rn的子集上的实值函数，因此，有必要对

n着重讨论Rn中的点集所特有的一些性R中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，

质. 需要指出的是，因为Rn中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对Rn中的点集都适用，但Rn中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.

§1 度量空间，n维欧氏空间

教学目的：使学生了解Rn中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，Rn 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间R1（即R，实直线），二维欧几里得空间R2（即实平面）和三维欧几里得空间R3（即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n维欧几里得空间.

定义 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组x?(x1,x2,?,xn)的全体组成的集合，称为n维点集，记作Rn，即Rn?{x?(x1,x2,?,xn):xi?R,i?1,2,?,n}.

为了深入研究n维点集Rn中邻

复变函数习题集

第二章 解析函数

一、 判断题

（1）设f(z)为解析函数，则f(1/z)也是解析函数。

（2）设f(z)和g(z)均为解析函数，则f(g(z))也是解析函数。 （3）设f(z)和g(z)均为解析函数，则5f(z)?ig(z)也是解析函数。 （4）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （5）若f(z),f(z)均在区域D内解析，则f(z)在区域D内为常数. (6 ) 指数函数ez是以2?i为周期的函数。 （7）sinz在整个复平面上有界.

( 8 ) 对任意复数z?0,?, Ln(?z)?Lnz。 二、 选择题

1．设f(z)和g(z)均为解析函数，下列命题错误的是（ ） （A）f3(z)是解析函数 （B）f(z)g(z)是解析函数 （C）

f(z)是解析函数 （D）g(z2?2)是解析函数 g(z)

2．函数f(z)?x2?iy2在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 3．假设点z0是函数f(z)的奇点，则函数f(z)在点z0处(

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华南理工大学期末考试

2013《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 6大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 总分 1.填空题。(每题5分，合计30分)

（1）求 (1?i)的所有的值：

?2k??2k???62?cos(?)?isin(?)?,k?0,1,2

123123?? （2）函数w?(x2?5)?ixy 在如下范围内可导：

(0,0)

（3）在映射w?z3下，区域|w|?3， 0?argw? 21125z?33,argz?(??,??

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2009《复变函数-A》试卷

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2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 7大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 7 总分 1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009(z??)C

（3）在映射w?z2

复变函数测验题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 61331?i （D）??i 2222（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）??????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）

2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz

22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小

５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u