2021年数学高考压轴题

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2021年吉林省高考理科数学压轴题总复习

1．已知F 为椭圆C ：

x 2a +

y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭

圆C 截得的弦长等于3，椭圆的离心率为12

． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过点P （?1

2

，0）且斜率存在的直线交椭圆C 于A ，B 两点，x 轴为∠AQB 的平分线．椭圆的左顶点为M ，右顶点为N ，椭圆中心为O ，求证：1

|MP|

?

1|QM|

=

1

|ON|

．

【解答】解：（1）设点F （c ，0），由题易得2b 2a

=3，又c a

=1

2

，

所以a 2

＝4c 2

，即a 2

＝4（a 2

﹣b 2

），即b 2

=34a 2

，代入2b 2a

=3， 解得a ＝2，b =√3， 故椭圆C 的方程为

x 24

+

y 23

=1；

（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （t ，0）， 设直线AB 的方程为x ＝my ?1

2

（m ≠0），

联立方程{x 24+y 2

3=1x =my ?1

2

，消去x 可得：4（4+3m 2）y 2﹣12my ﹣45＝0，

所以y 1+y 2=3m 4+3m 2，y 1y 2

=?45

4(4+3m 2)

， 因为x 轴为∠AQB 的平分线，所以k AQ

金山中学18年数学高考压轴题

（集有关信息编制，内部资料，仅供参考） 2018.5.28

1.设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝⑴求f(α)·f(β)的值；

⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；

（3）当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：⑴ f(α)f(β)＝－4

⑵设α≤x1

4x?a x2?1[4?a(x1?x2)?4x1x2](x1?x2) 2(x12?1)(x2?1)又∵2x12-ax1-2≤0, 2x22-ax2-2≤0,∴a(x1+x2)+4≥2(x12+x22) 得4+a(x1+x2)－4x1x2≥

2(x12+x22) －4x1x 2=2(x1-x2)2>0，得f(x1)0，f(x)min＝f(α)

∵|f(α)|·f|(β)|＝4，而f(β)－f(α)＝|f(β)|+|f(α)|≥4 符号在f(B)＝2时成立，即

２

8a?16?a2?2?a?0

2. 设曲线ｃ：ｙ＝ｘ（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x轴交于Q１，过Q１作平行于y轴的直线与曲线c交于P１（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c的切线交x轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y轴的直线与曲线c交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类

1.已知数列{an}满足a1?1，a2?1，且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1]， 2（n=1,2,3,?）.（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式； （2）令bn?a2n?1?a2n，记数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：Tn<3.

11,a5?5,a6? 48*当n为奇数时，不妨设n=2m1，m?N，则a2m?1?a2m?1?2， {a2m?1}为等差数列，

解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a3?3,a4?a2m?1=1+2(m1)=2m1, 即an?n。

当n为偶数时，设n=2m，m?N，则2a2m?2?a2m?0， {a2m}为等比数列，

*1n11m?11a2m??()?m，故an?()2，

2222?n(n?2m?1m?N*)1?综上所述，an??1n （2）bn?a2n?1?a2n?(2n?1)?n

*2?()2（n?2mm?N)?21111Tn?1??3?2?5?3???(2n?1)?n

222211111Tn?1?2?3?3???(2n?3)?n?(2n?1)?n?1 22222111111两式相减：Tn??2(2?3??

24. （本题12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B。 （1） 求证：△OBP与△OPA相似；

（2） 当点P为AB中点时，求出P点坐标；

（3） 在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形。若

存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。

yB2P1-2-1O-1-2

25.（本题14分）如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C。已知B（8，0），ant?ABC，△ABC的面积为8. ?1212Ax（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平

移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每

EF?OP秒2个单位的速度向原点O运动。联结FP，设运动时间t秒。当t为何值时，EF?OP的值最小，求出最大值；

（3） 在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC

相似。若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由。

yCFEOAPBx 24．（本

2012高考数学压轴题2(原创集) 原创作者：末日

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：f??x?=g??f?x???，其中?为非零常数.若数列{Ln}满足：L1=f(a) , Ln+1=g(Ln). (1).证明：Ln=f??n-1a?(2).若数列{Xn}满足：X1=tan?，Xn+1Xn2-Xn+1+2Xn=0,求数列{Xn}通项公式.

5(3).若数列{an} , {bn}满足：an+1=3an-4an3, ，bn+1=4bn3-3bn，a12+b12=1,证明：an2+bn2=1

解答(1).证明：i：由题意，当n=1时，L1= f(a)=f(?1-1a) ii：假设当n=k时（k≥1），L=fk 由题意：∵f??x?=g??f?x???

Lk?1?g?L?kk-1=?g?f?????aa?成立，则当n=k+1时 ??1-k??f??a?=?k-1+1-1∴ L?=fk?an=f??n-1a? 成立

（2）. 方法1：证明：∵ Xn+1Xn2-Xn+1+2Xn=0∴xn+1=2xn2xf（x）?tan x , g（x）? 设函数 21

2012高考数学压轴题精练六

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y?x2的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1?x0)，

2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;

2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0;

解得P点的坐标为：xP?x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，

32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,

3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).

3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.

214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA

填空压轴

同学：为迎接二模考试，我们要坚持再坚持！！相信自己是最棒的！

例1．某同学在研究函数y f(x)(x≥1,x R)的性质，他已经正确地证明了函数f(x)满足：

f(3x) 3f(x)，并且当1≤x≤3时，f(x) 1 |x 2|，这样对任意x≥1，他都可以

54 3

2 1，f(54) 3f 3 27， 3 3

求f(x)的值了，比如f(8) f 3 3f 3 1

3

3

8 8 8

请你根据以上信息，求出集合M {x|f(x) f(99)}中最小的元素是 ▲ .

例2

．图为函数f(x)

x 1)的图象，其在点

M(t，f(t))处的切线为l，l与y轴和直线y 1分别

交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b 时的点M恰好有两个，则b的取值范围为 ▲ .

例3.已知△ABC的三边长a,b,c满足b 2c 3a,c 2a 3b，则▲ .

ba

的取值范围为

例4.在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y x3 1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为 ▲ .

例5、 在□ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠DAC＝

60°，点M为AB

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选14 66、设函数 .

(1)求 的单调区间;

(2)若当 时,(其中 )不等式 恒成立,求实数 的取值范围; (3)试讨论关于 的方程: 在区间 上的根的个数.

67、已知 ， ， .

（1）当 时，求 的单调区间；

（2）求 在点 处的切线与直线 及曲线 所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数 ，使 的极大值为3？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.

68、已知椭圆 的离心率为 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C?2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且 满足 ， 求 的取值范围。

69、已知F1,F2是椭圆C: （a>b>0）的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足 。

（1）求椭圆C的方程。

（2）椭圆C上任一动点M 关于直线y=2x的对称点为M1

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选2

x2y2=1的左、右焦点. 6、设F1、F2分别是椭圆+54（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）

求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数f(x)?x2?2bx?c(b,c?R)满足f(1)?0，且关于

x的方

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2010年高考数学压轴题系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=?3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a