切比雪夫不等式证明大数定律
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切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明一、
试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次,其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1
1000=×==npEX, 250) 2
答题完毕,祝你开心! 1 1( 2 1
1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明,DX越小,则 P{|X-EX|>=ε}
越小,P{|X-EX|<ε
切比雪夫不等式证明优秀3篇
篇一:经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一
mathwang
几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式
(1)均值不等式
设a1,a2,?an?0是实数
a?a???a12n ???
111n?+??a1a2an
其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2???an时,等号成立。
n
(2)柯西不等式
设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数,则
?a
21
22?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?
2
当且仅当bi?0(i?1,2,?,n)或存在实数k,使得ai?kbi(i?1,2,?,n)时,等号成立。
(3)排序不等式
设a1?a2???an,b1?b2???bn为两个数组,c1,c2,?,cn是b1,b2,?,bn的任一排列,则
a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1???anb1 当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时,等号成立。
(4)切比晓夫不等式
对于两个数组:a1?a2???an,b1?b2???bn,有
a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用
王林(2013080201031)
指导教师:吕恕
摘要:切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容,它是证明切比雪夫大数定律的重要
工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入,然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律,最后给出了切比雪夫不等式的一些应用,讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词:切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用
0.引言
切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容,它不但用于理论证明,而且用于随机变量取值概率的估计,且其推广形式有许多方面的应用。
1.切比雪夫不等式
设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D(X),则对任意实数?有:P{X-E(X)}??}? 证明:(1)设X为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi)=Pi(i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=
D(X)?2
|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)
?2(2)设X为连续性随机变量,其概率密度为P(X),由于E(X),D(X)均存在
二维切比雪夫不等式
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二维切比雪夫不等式
作者:唐建航
来源:《学习导刊》2013年第10期
摘要:本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字:概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式
概率论中,切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记
称作随机变量和的协方差,如果,, 则
称作随机变量和的相关系数.
定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间,,是非负随机变量.那么,对任意, 证明:注意到
其中是集合的示性函数. 于是,根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.
定理二 已知随机变量,.且其数学期望为和.那么存在
证明 我们知道,对于某一概率空间,是某一随机变量,其值域为如果设,则显然可以表示为
其中为概率空间
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节,方差,协方差、 相关系数与大数定理; 下次课讲授第四章第1-4节:正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40
页重点:方差与协方差 难点:方差协方差与独立相关系数之间的关系
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义:E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1
若X连续,则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1
x
Y g( X )时,E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx
Z g( X , Y )时,E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j
x
g( x , y ) f ( x , y )dxdy
回顾: 1.原点矩 定义1
不等式证明
第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明
一 基本结论
1.零点定理:若f(x)在[a,b]连续,f(a)f(b)?0,则???(a,b),使得f(?)?0. 2.最值定理:若f(x)在[a,b]连续,则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M.其中
m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值.
3.介值定理:设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M,对于?c?[m,M], 都存在???[a,b]使得f(?)?c.(或者:对于?c?(m,M),都存在???(a,b)使得
f(?)?c)
4.费玛定理:如果x0是极值点,且f(x)在x0可导, 则 f?(x0)?0.
5.罗尔定理:f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,f(a)?f(b),则???(a,b)使得
f?(?)?0.
6.拉格朗日定理:f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,,则???(a,b)使得
f(b)?f(a)?(b?a)f?(?).
) 7.柯西定理:f(x),g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g?(x)?0,则???(a,b使得
f(b)?f(a)f?(?)?.
g(b)?g(a)g?(?)8.泰勒公
均值不等式证明
第1篇:不等式证明,均值不等式
1、设a,b?R,求证:ab?(ab)?aba?b2?abba
2、已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)>6abc
3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a
24、设a,b?R?,且a?b?1,求证:(a?)?(b?)?
5、若a?b?1,求证:asinx?bcosx?
16、已知a?b?1,求证:a?b?
7、a,b,c,d?R求证:1<?441a21b225 2221 8abcd+++<2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
111
18、求证2?2?2???2<2 123n
1111????<1
9、求证:?2n?1n?22n
10、求下列函数的最值
(1) 已知x>0,求y?2?x?
(2) 已知x>2,求y?x?4的最大值(-2) x1的最小值(4) x?
2111(3) 已知0<x<,求y?x(1?2x)的最大值() 2216
11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是()
(2?2333)
12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为()(4)
1
3、求函数y?
14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2
利用排序不等式证明AM-GM不等式
自己原创的。
河南开封市高级中学jason_1108@
利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0,则
a1+a2+ +an≥n
等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an
证明:令G=a1a2 an,则原不等式等价于
a1+a2+ +an≥nG
构造数列
A=
B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an
显然,两组数列中的元素有着一一对应的关系,即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以,A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和,即为n。
另一方面,A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和,即乱序和是a1+a2+ +an。G
由排序不等式,乱序和大于等于逆序和,即
a1+a2+ +an≥nG
原不等式得证。
排序不等式及证明
高中数学几个重要不等式的证明。
四、排序不等式
【】
(一)概念9: 设有两组实数
a1,a2, ,an (1) b1,b2, ,bn (2) 满足
a1 a2 an (3) b1 b2 bn (4) 另设
,cn (5) c1,c2,是实数组(2)的一个排列,记
逆序积和S a1bn a2bn 1 anb1 乱序积和S' a1c1 a2c2 ancn 似序积和S'' a1b1 a2b2 anbn 那么
S S' S'' 且等式成立当且仅当 a1 a2 an
或者
b1 b2 bn
证明【9】:
1,预备知识
引理1(Abel变换) 设(1)(2)为任意两组有序的实数组,令
k
B0 0,Bk 那么
n
b,
i
i 1
n 1
akbk anBn (ak 1 ak)Bk
k 1
k 1
事实上:
n
n
akbk
k 1
a
k 1n 1
k
(Bk Bk 1) an(Bn Bn 1) an 1(Bn 1 Bn 2) a1B1
不等式证明的方法
安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文
不等式证明的若干方法
作者:金克川 指导老师:杨翠
摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的
重要组成部分.在本文中,我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式,如:均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善,有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法,可以帮助我们解决一些实际问题,培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数
1引言 在数学的学习过程中,不等式证明是一个非常重要的内容,这些内容在初等数学和
高等数学中都有很好的体现.在数量关系上,虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里,但是人们对于不等式的