二次型的应用的论文

北方民族大学结业论

文

课程名称: 矩阵计算

院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学号： 20093419 姓名： 司委 班级: 09级信计三班

设 计 时 间: 2011.12.13----2011.12.5

矩阵的认识及其在二次型中的应用

先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。首先说说空(space)，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简

1．抛物线y=﹣x+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（ ）

2

A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1

2．如果将二次函数y=2x的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是___

3．如图，抛物线y1=-x+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：

22

（1）抛物线y2的解析式是_____，顶点坐标为_____； （2）阴影部分的面积_____;

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．

4.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

二次函数的应用——求周长面积问题

1．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函

浅谈正定二次型的判定方法

摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性

及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用

1 引 言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p是一个数域，aij?p，n个文字x1,x2,…，xn的二次齐次多项式

nn f(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j

(a

《二次函数的应用》教学反思

《二次函数的应用教学反思》教学反思

二次函数的应用是在学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，它是本章的难点。新的课程标准要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题，而最大值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题，它生活背景丰富，学生比较感兴趣。本节课通过学习求水流的最高点问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。

由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

不足之处：《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习探讨。在本节课的教学中，教师引导学

篇一：《二次函数与一次函数的综合应用》教学反思

《二次函数与一次函数的综合应用》教学反思

著名教育家叶澜教授说：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年教学反思可能成为名师”。这句话的用意就是让我们重视写教学反思。写反思有利于教师不断总结教学经验和不足，完善自我，提高教学水平，不断改变教学方法，提高课堂教学效率。

下面就我在讲《二次函数与一次函数的综合应用》一节课，做一教学反思。

函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。而二次函数在初中数学中占有重要的地位，同时也是高中数学学习的基础，作为初、高中数学衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，二次函数和一次函数的综合应用就成了中考的热点。这节课的教学重点是二次函数的性质和一次函数的性质的灵活运用；难点是怎样建立二次函数和一次函数的关系。

教学目的及过程：

首先复习了二次函数和一次函数的有关基础知识，二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性。一次函数的定义、图像及函数的增减性。采用特值法的形式检验学生的基础知识掌握情况，采取这样的方法学生易懂。

由于本节课是二次函数与一次函数的综合应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，以“启发探究式”为主线开展教学活动。以

篇二：《2

第五章

二次型

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别1

一、二次型及其标准形的概念定义1 含有n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

称为二次型.当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .

只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形(或法式). 例如2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3

为二次型的标准形. 只含有平方项的且形如以下二次型 2 2 2 2 f y1 y p y p 1 yr 称为二次型的规范形3

二、二次型的表示方法1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1

第五讲二次型

一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述

数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型。有以下几种表述方式： （1）f(x1,x2,?,xn)???axxijii?1j?1nnj；

222（2）f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2?axxijii?jj；

T（3）f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中XT?(x1,x2,?,xn)，A?(aij)n?n，且A?A，并称A为二次型的矩阵。 2、矩阵合同

（1） 设A,B?Fn?n,若存在可逆矩阵T?Fn?n，使B?TAT，则称A与B是合同的。

T（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。

（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。

3、 标准形

222（1） 二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1称为标准形。 ?d2x2???dnxn（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。

4、 复数域上二次型的规范形

222（1） 复二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1，其中di?1或0，称为复?d2x2???dnxn数域上的规范形。

（2） 任