坐标变换矩阵

b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法规则： 21

b11 [a11 a12] b21 a11a12 x0 的乘法规则： (2)二阶矩阵 与列向量 a21a22 y0

a11 a12 x0 ＝ a11×x0＋a12×y0 . a21a22 y0 a21×x0＋a22×y0

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

a11 a12 b11 b12 ＝ a21a22 b21b22

a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22 a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22

(4)(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．

2．常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．

3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称AB称为A

(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流ia，所产生的合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即ib，ic时，电流角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

qAOiaF?dificC

图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

?B?1FibAOCC?1Fi??AOB?i?iciaFq??a??1d?b?ditqOim?c?图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a）三相交流绕组 （b）

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流ia，所产生的合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即ib，ic时，电流角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

qAOiaF?dificC

图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

?B?1FibAOCC?1Fi??AOB?i?iciaFq??a??1d?b?ditqOim?c?图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a）三相交流绕组 （b）

一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。

由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。

解决的思路与基本分析：

1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为?1的旋转磁场。

又知，取空间上互相垂直的（?，?）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。 此时的电机数学模型有所简化。 2. 还知, 直流电机的磁链关系为： F---励磁绕组

轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。 A---电枢绕组

轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。

由于q

OpenGL通过相机模拟、可以实现计算机图形学中最基本的三维变换，即几何变换、投影变换、裁剪变换、视口变换等，同时，OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容，就算真正走进了精彩地三维世界。

一、OpenGL中的三维物体的显示

（一）坐标系统

在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体及二维数据联系在一起的唯一纽带就是坐标。

为了使被显示的三维物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。世界坐标系是始终固定不变的。

OpenGL还定义了局部坐标系的概念，所谓局部坐标系，也就是坐标系以物体的中心为坐标原点，物体的旋转或平移等操作都是围绕局部坐标系进行的，这时，当物体模型进行旋转或平移等操作时，局部坐标系也执行相应的旋转或平移操作。需要注意的是，如果对物体模型进行缩放操作，则局部坐标系也要进行相应的缩放，如果缩放比例在案各坐标轴上不同，那么再经过旋转操作后，局部坐标轴之间可能不再相互垂直。无论是在世界坐标系中进行转换还是在局部坐标系中进行转换，程序代码是

OpenGL通过相机模拟、可以实现计算机图形学中最基本的三维变换，即几何变换、投影变换、裁剪变换、视口变换等，同时，OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容，就算真正走进了精彩地三维世界。

一、OpenGL中的三维物体的显示

（一）坐标系统

在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体及二维数据联系在一起的唯一纽带就是坐标。

为了使被显示的三维物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。世界坐标系是始终固定不变的。

OpenGL还定义了局部坐标系的概念，所谓局部坐标系，也就是坐标系以物体的中心为坐标原点，物体的旋转或平移等操作都是围绕局部坐标系进行的，这时，当物体模型进行旋转或平移等操作时，局部坐标系也执行相应的旋转或平移操作。需要注意的是，如果对物体模型进行缩放操作，则局部坐标系也要进行相应的缩放，如果缩放比例在案各坐标轴上不同，那么再经过旋转操作后，局部坐标轴之间可能不再相互垂直。无论是在世界坐标系中进行转换还是在局部坐标系中进行转换，程序代码是

线性变换及其矩阵

§1.2 线性变换及其矩阵

在讲线性空间之前我们说：“空间”是定义一些结构的能够容纳运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。由于变换的存在使得线性空间研究由静态的量的研究转化为了动态的元素之间关系的研究。那么，线性空间中的变换是如何定义的呢？它的实质又是什么呢？在本节中，我们将主要解决这一问题。

在开始定义线性变换之前，我们首先来回顾一下线性系统的定义： 线性系统的一个基本特征就是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是说：若线性系统的数学描述T（T看作是信号空间上的变换）,则对任意两个输入信号x和y以及任意两个非零常数c1和c2，下述关系式满足：

部请勿

一、 线性变换

资

下面，我们给出一般线性空间上的线性变换的定义

料

T(c1x+c2y)=c1Tx+c2Ty

1. 线性变换及其性质

内

设V是数域K上的线性空间, T是V上的变换，若T满足：对

x,y∈V, k,l∈K，T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，则称T是V上的线性变换。

那么线性变换具有什么性质呢？我们来看一下。 线性变换的性质：

(1) Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=θ

(2) T( x)=T(( 1)x+0y)=( 1)(Tx)+0(T

选修4－2 矩阵与变换

第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．

?x＋2yx＋3y??3

1. 已知A＝??，B＝?

?a ?x－yx＋y?

x＋2y＝3，

4?

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题．

b?

?，若A＝B，求ax＋by的值．

??x＋3y＝4，

解：∵ A＝B，∴ ?∴ x＝1，y＝1，a＝0，b＝2，则ax＋by＝0＋2＝2.

x－y＝a，??x＋y＝b，

2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵?值．

解：?

?－m＝－2，?m＝2，??m0??－1?＝?－2?，?

?? 解得 ?????

?01?? k??－4???k＝－4.k＝－4.??

?m0?之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的

?

?01?

3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作

?a＝1，?a0??x?＝?x?

石家庄经济学院本科生毕业论文

摘 要

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组

ABSTRACT

Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matri

1 ?1．已知A＝??6

5?2?

?，求A的特征值．

?λ－1 －5?

解 A的特征多项式f(λ)＝??

? －6 λ－2?

＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A的特征值为7和－4.

?1 －1?1 2－2?，求矩阵AB. －2?，矩阵B的逆矩阵B1＝?2．(2016·江苏)已知矩阵A＝?0?????0 2?

1

1

221

4 －－

解 B＝(B1)1＝22＝.

1

010

2 22

????????????????1 2?

∴AB＝??·

?0 －2??

3．已知矩阵M＝?

5???1

＝?4?. ???1

?0 －1?0 ?2?1

14

?1 ?3 ?1?，β＝? 0?，求M(2α＋4β)． ，α＝?????

?2?4??－3?

2?

?2?? 0?＝? 2?，

解 2α＋4β＝??＋????

?4??－12??－8?

M(2α＋4β)＝?

?1 ?3

2?? 2??－14????＝??. 4??－8??－26?

1??4．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是??，求矩阵A. ?1?

解 设A＝?

?a ?c

d?

b?

?，由?

?a ?c ?2?， ＝?????