正态分布x2的期望

一、 正态分布

1.1概率密度函数

0.040.0350.030.0250.020.0150.010.0050-30y-20-100x10203040图1

正态分布的特征

（1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称；

（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；

（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：

①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。

1.2、分布函数

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-100-80-60-40-200x20406080100p 图-2

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它

不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即

概率密度）。

对于任何正态分布随机变

正态分布

一：正态分布的概念和和图形 正态分布的概率密度函数为： 1 ?( X ? ?)

f(X)?e2? ? 2 ? (-∞＜ X ＜+∞)

22 式中，有4个常数，??? 为总体均数，?? 为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，其中?,π，e为固定常数，仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数值。当给定?和?，就可绘制出一条正态分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。

二：正态分布图的特点 1 对称的钟型（在均数处最高） 2两侧逐渐下降 3两端在无穷远处与横轴无限接近。 三：正态分布的特征 f ? =1.5

特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X= 特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。

特征三 正态分布取决于两个参数，即均数?? 和标准差??。

? 处。

??为位置参数，??

变大，则曲线沿横轴向右移动；?? 变小，曲线沿横轴向左移动。?

论文《正态分布的应用》

专业：光伏产品检测技术

学号：21号 姓名：王景卓

生活中诸多的经验和理论都表明，我们所处的环境中服从正态分布的事件是及其常见的。例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正态分布。所以在统计学中对于正态分布的使用越来越广泛，本文是对正态分布的应用做一些基本阐述。

正态分布，又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作

当

，读作服从

，或服从正态分布。

时，正态分布就成为标准正态分布

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

正态分布

正态分布一种概率

数学建模 数据统计与处理

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。

二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）

计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验

学校代码 13651 编 号 0320150016

本科毕业论文（设计）

题目：论正态分布的重要地位和应用

学 部：工学部 学生姓名：王梅影 学 号：2011070102021 年 级：2011级 专业班级：信息与计算科学

指导教师： 赵姣珍 职称：讲师 完成时间：2015/5/15

中国·贵州·贵阳

贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）

成果声明

本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：

日期 年 月 日

贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）

目 录

摘要 ....................................

数学建模 数据统计与处理

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。

二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）

计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验

2014年总结&2015年规划追求高效率 高品质的企业管理------田金华

I

目录

1

2014年目标达成及检讨

2

2015年目标及规划

3

展望

Ⅱ

2014年目标达成

II

2014年目标未达成原因分析及改善对策原因分析： 2014年1月2月4月9月订单量 的不足！上半年产值占全年的 38%,时间不均衡！ 连续多月份上旬订单量占比 少于40%。 内部订单处理节奏不均衡。

改善对策： 产值达 成率 86.9% 主动且积极的业务开拓，新纳 3个外部业务人员，广开渠道 ，磷选优质合体客户 业务稳打稳扎，目标管理 绩效管控周边作业流程和时 间

产值达成2014年各月趋势：120.0% 100.0% 80.0% 60.0% 40.0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

64.7%

80.6% 57.5%

73.0% 62.8%

81.8%

101.6%

95.6%

101.2% 88.8%

92.3%

49.8%

II

2014年目标未达成原因分析及改善对策原因分析： 9月份和11月份占比高。 9月份和11月订产值底， 加班费用与往月相同 组装课的加班费高企。 机加课占比较高 效率偏底，加班时间长

改善对策： 薪资占 比产值 达成率 7

标准正态分布表

标准正态分布表怎么看

将未知量Z对应的列上的数 与 行所对应的数字 结合 查表定位

例如 要查Z=1.96的标准正态分布表 首先 在Z下面对应的数找到1.9 然后 在Z右边的行中找到6

这两个数所对应的值为 0.9750 即为所查的值

有谁知道，为什么标准正态分布表x的右边和下边都有值啊，难道一个x可以有两个值，看表是怎么看啊

那是一个精度问题，例如当x=0.12,那么应该先在x下方找到0.1，再在右边找到0.02，那么这两个同时对应的那个数就应该是你所要的！

标准正态分布的x值算出来介于两个之间,取哪一个。 概论值如果介于两个间,取更大的还是更近的啊

精度要求不是很高的话，在正中取中间值，靠一边取更近的，四舍五入。 精度要求高的话用插值函数，比如在两点间作一次函数逼近。

为什么u0.025等于1.96？标准正态分布表查不到这个结果啊。u0.05是多少？u0.1是多少？

因为P{Z<1.96}=1-0.025=0.975

u0.05=1.645

因为P{Z<1.645}=1-0.05 u0.1类似

统计学中，标准正态分布表中Z值代表意义

Z值只是一个临界值，他是标准化的结果，本身没有意义，有意义的在于在标准正态分布模型中它代表的概率值。通过查表便可以知道。

标准正态分布

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

本文介绍了正态分布的理论以及正态分布的研究现状。利用分部积分法和变步长Gauss-Legendre积分规则,对积分区域进行划分,建立了标准正态分布的高精度算法。Gauss-Legendre积分公式在数值积分计算时具有较高的效率;分部积分是一种新的计算正态分布方法。最后通过理论及数值试验证明该算法的绝对误差界为0.5×10-16。

第3卷第3 4期21年9 01月

长春理工大学学报 (自然科学版 )J u a o Ch n c u n v ri f ce c n e h oo y ( tr l ce c i o ) o r l f a g h n U ie s yo S in ea dT c n l g Na a in e t n n t u S Ed i

Vo .4 No. 13 3

S p2 1 e .0 1

正态分布积分的高精度算法刘小会(安电子科技大学西摘理学院，西安 70 7 ) 10 1

要：本文介绍了正态分布的理论以及正态分布的研究现状。利用分部积分法和变步长 Gas— e e (e分规则，对 us L gnh积

积分区域进行划分，建立了标准正态分布的高精度算法。G us L gn r积分公式在数值积分计算时具有较高的效率；分