高考数学立体几何专题

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高考数学专题训练：立体几何（四）

第四次高考训练

一、证明两条直线平行的方法

1、证明直线与直线平行的方法：

（1）、证明直线与平面的判定定理得到直线与平面平行； （2）、根据直线与平面平行的性质定理得到两条直线平行。 2、线与面平行的性质定理：

如果直线与平面平行，那么过这条直线与该平面的交线与这条直线平行。 如下图所示：

因为：直线a//平面?，直线??平面?，平面??平面??直线b； 所以：直线a//直线b。

二、证明两条直线平行的训练

【训练一】：【2015年高考理科数学安徽卷第19题】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AAADD1B1B，1A1，

ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F。

（Ⅰ）证明：EF//B1C

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【分析过程】： 。

【证明

高一、2级部数学组

立体几何

一、考点分析

基本图形 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

?斜棱柱?底面是正多形①棱柱?棱垂直于底面??正棱柱★ ???????直棱柱?????????其他棱柱??②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 E'D'SF' C'侧面顶点高侧面A'B' 侧棱底面 侧棱 ED底面FC斜高 DCABOH AB

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

球面3．球

轴球心球的性质：

半径①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

l★②r?R?d（其中，球心到截面的距离为RAr22Od、球的半径为R、截面的半径为r）

立体几何专题 1 共12页

dO1B高一、2级部数学组

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正

高考数学复习专题训练--立体几何

1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）如果AA1=4，AB=2，求点A到平面A1BD的距离； （2）当

A1 B1

C1

D1

AA10

的值等于多少时,二面角B-A1C-A的大小是60． AB A

B C

2.已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． (Ⅰ)求证：AP⊥平面BDE；

(Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面BDF；

3.如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长6的正方形，SD?PD?6，CR?SC， AQ?AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.

（1）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图， （2）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1？

S

P D C R A B

Q

4.已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，AB=5，

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D 3cos?CAB?,AA1?4,点D是AB的中点..

5（Ⅰ）求证：AC?BC1

高三数学 立体几何专题

一、方法总结 高考预测

（一）方法总结

1．位置关系： （1）．两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90o；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个○○向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）．直线和平面垂直

证明方法：1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量○○都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）．平面和平面相互垂直

证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）．两条异面直线的距离

求法：利用公式d?|AB·n||n|（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）

（2）．点到平面的距

高考数学立体几何试题汇编

一、选择题

1．（全国Ⅰ?理?7题）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ D ）

A．

1234 B． C． D． 55552．（全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，

则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）

A． 6 4 B．2310 C． D． 2243．（北京?理?3题）平面?∥平面?的一个充分条件是（ D ）

A．存在一条直线?，a∥?，a∥? B．存在一条直线a，a??，a∥? C．存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? D．存在两条异面直线a，b，a??，a∥?，b∥?

4．（安徽?理?2题）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面?内，“l??”是l?m且“l?n”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

A．arcco

高考数学重点专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

二、练习题：

1． 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

1112

V B．V C．V D．V 2343

B1

1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角

D

高考数学重点专题

a

，则三棱锥P BDQ的体积为 2

333 B

C

D．不确定 A

线A1C上的点，若PQ

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B

立体几何

一、高考预测

立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要

是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，

- 1 -

主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．

2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

[0,]3。直线与平面所成角的范围是2；两异面直线所成角(0,]的范围是2.一般情况下，求二面角

立体几何

一、高考预测

立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要

是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，

- 1 -

主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．

2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

[0,]3。直线与平面所成角的范围是2；两异面直线所成角(0,]的范围是2.一般情况下，求二面角

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，