线性代数及其应用第五版答案

1

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

811411

02---;

解

3

81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a

c b c b a ;

解

b

a c a c

b

c b a

=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc

=3abc -a 3-b 3-c 3.

(3)2

22111c b a c

b a ;

解

2

22111c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)

y

x y x x y x y y x y x +++.

解

y

x y x x y x y y x y x +++

=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

81141102---;=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a c

b

c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2

22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y

x y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0

(2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.

(3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3

线性代数习题册答案

第一章 行列式 练习 一

班级 学号 姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为 负 .

0034．042= －24 . 215

5．计算下列行列式：

?1（1）2222 或

?1?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?2?1??（2）11??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??= －?＋3?+2=(2??)(??1)

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练习 二

班级 学号 姓名

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1

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1

1

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第一章 行列式 练习 一

班级 学号 姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为 负 .

0034．042= －24 . 215

5．计算下列行列式：

?1（1）2222 或

?1?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?2?1??（2）11??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??= －?＋3?+2=(2??)(??1)

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练习 二

班级 学号 姓名

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第一章 行列式 练习 一

班级 学号 姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为 负 .

0034．042= －24 . 215

5．计算下列行列式：

?1（1）2222 或

?1?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?2?1??（2）11??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??= －?＋3?+2=(2??)(??1)

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练习 二

班级 学号 姓名

工程数学--线性代数课后题答案_第五版

第五章 相似矩阵及二次型

1? 试用施密特法把下列向量组正交化?

?111?(1)(a1, a2, a3)??124??

?139???

解 根据施密特正交化方法?

?1?b1?a1??1??

?1???

??1?b2?a2?b1??0??

?1?[b1,b1]??[b1,a2][b1,a3][b2,a3]

?1?1?b3?a3?b1?b2??2??

[b1,b1][b2,b2]3?1???

?11?1??0?11?(2)(a1, a2, a3)???

?101??110???

解 根据施密特正交化方法?

?1??0?b1?a1????

?1?1???

?1?[b1,a2]1??3?b2?a2?b1???? 2[b1,b1]3?1???

??1?[b1,a3][b2,a3]1?3?b3?a3?b1?b2????

[b1,b1][b2,b2]53?4??? 2? 下列矩阵是不是正交阵:

?1?11???23?11?(1)??1?; 22?1?1?1??2?3?

解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是

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线性代数(同济五版)

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第一章

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第一章 行列式

行列式是研究线性方程组的一个有力工具,本章给出了行列式的定义、性质及其计算方法.

§1 全排列及其逆序数

一、排列及其逆序数定义

对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.

定义1 由n个自然数1,2,?,n组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称为一个n元全排列,简称为排列.

例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.

定义2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个逆序（反序）,在一个排列里出现的逆序总数叫做这个排列的逆序数,用?(i1,i2,?,in)表示排列i1,i2,?,in的逆序数.

根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：

设在一个n级排列i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)大的且排在it前

第1页 面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个

数之和就是这个排列的逆序数．即