二次函数的实根分布问题专题总结

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一

..

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高

二次函数专题复习

一、选择题

21．二次函数y 2（x 1） 3的图象的顶点坐标是【 】

A．（1，3） B．（ 1，3） C．（1， 3）

2．下列函数是二次函数的是【 】

A．y 2x 1 B．y 2x 1 C．y x2 2 D

D．（ 1， 3） 3．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式结果为 ( )

A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D． y＝(x－1)2＋2

4．二次函数y＝－3x2－6x＋5的图像的顶点坐标是

A．(－1，2) B．(1，－4)

C．（－1，8)

D．(1，8)）

5．如图，抛物线y x2 1 ） A的横坐标是1，则关于x的不等式A．x>1 B．x<1 C．0<x<1 D．－1<x<0

6．已知二次函数y mx2 2mx n(m,n为常数，且m 0)，下列自变量取值范围中y随x增大而增大的是（ ）.

A．x<2 B．x<-1 C．0-1

抛物线中的面积问题

提出问题:

1.中考试题 如图1，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积． 2.参考答案（1）解析式为

，D点坐标为（－1，）．

），

（2）探求得直线EF的解析式为y =x +．设K（t，

xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN = yK－yN =－（t +）=

．

∴S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +

．

即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）． 面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.在历届中考试题的解答中，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论．经研究发现，这些问题通常

二次函数中的符号问题

一、基本知识：

（1）二次函数y=ax+bx+c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的.

抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同

（2）抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的位置是由 决定的.

2

2

抛物线与y轴相交于正半轴上； 抛物线与y轴相交于原点； 抛物线与y轴相交于负半轴上.

（3）抛物线y=ax+bx+c的对称轴的位置是由 决定的.

对称轴在y轴的左侧；

对称轴在y轴的右侧； 对称轴就是y轴.

（4）抛物线与x轴交点的个数由 决定的.

抛物线与x轴有2个交点； 抛物线与x轴有1个交点；

2

抛物线与x轴有0个交点.

（5）二次函数y=ax+bx+c的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y恒大于0 y恒小于0

（6

第 1 页 共 8 页

二次函数专题讲座

思维基础: （一）填空：

1．二次函数y?称轴是

1 (x?3)2?2的图象的开口方向是向 2。

2，顶点从标是 ，对

2．抛物线y?8x?(m?1)x?m?7的顶点在x轴上，则m的值等于 . 3.如果把第一条抛物线向上平移

295，再向左平移个单位，就得到第a个单位（a?0）

42二条抛物线y?ax，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.

（二）选择：

1.如图代13-3-1所示二次函数y?ax?bx?c的图象，则有（ ）

2

图代13-3-1 图代13-3-2

A.a+b+c?0 B.a+b+c=0 C.a+b+c?0 D.a+b+c的符号不定

2.如图1-3-2是抛物线y?ax?bx?c的图象，则下列完全符合条件的是（ ）

2

2

2 A.a?0，b?0，c?0，b?4ac B.a?0，b?0，c?0，b?4ac

22

C.a?0，b?0，c?0，b?4ac D

二次函数最大利润问题

最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量 设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况： （1）自变量x是所涨价多少，或降价多少 （2）自变量x是最终的销售价格

例：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件，现设一天的销售利润为y元，降价x元. （1）求按原价出售一天可得多少利润？ （2）求销售利润y与降价x的的关系式

（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？ （4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润. （一）涨价或降价为未知数：

例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？

变式：1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决

http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2737247

（2009益阳）如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

A

F E B D G C 图11

(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°

又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°

又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF

∴四边形AEGF是正方形

(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3

222

在Rt△BGC中，BG＋CG＝BC

222

∴( x

二次函数最大利润问题

最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量 设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况： （1）自变量x是所涨价多少，或降价多少 （2）自变量x是最终的销售价格

例：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件，现设一天的销售利润为y元，降价x元. （1）求按原价出售一天可得多少利润？ （2）求销售利润y与降价x的的关系式

（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？ （4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润. （一）涨价或降价为未知数：

例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？

变式：1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决

数学二次函数及其应用 一、填空题：１、抛物线 y＝－x2＋1 的开口向＿＿＿＿。２、抛物线 y＝2x2 的对称轴是＿＿＿＿。y ３、函数 y＝2 (x－1)2 图象的顶点坐标为＿＿＿＿。

４、将抛物线 y＝2x2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿。 ５、函数 y＝x2＋bx＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b＝＿＿＿＿。 ６、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝＿＿＿＿时，y 有最小值。

1 O -1 1 2 x 1７、函数 y＝ (x－1)2＋3，当 x＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

2８、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿。

９、若点 A ( 2, m) 在函数 y＝x2－1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿。 图1 10、抛物线 y＝2x2＋3x－4 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿。

11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、已知二次函数 y＝ax＋bx＋c 的图像如图1所示：则这个二次函数的解析式是 y＝＿ 。 二、选择题：