垂径定理及其推论的应用

24.1.2垂径定理及推论的应用

垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。C

∵ CD是直径，CD⊥ABO · A

∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.B

⌒

⌒

⌒

⌒

E D

垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。C

∵ CD是直径， AE=BEO · A

∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.B

⌒

⌒

⌒

⌒

E D

一、利用垂径定理及推论的有关 计算问题

例1:如图，圆 O 的弦AB=8 ㎝ , DC=2㎝,直径 CE⊥AB 于D, 求半径OC的长。

EE

AA

O DD

O

B

B

CC

C

rA

O

反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、半弦长1/2a中， 任意知道两个量，可根据 定 理求出第三个量：D

d 1/2a

B

练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝ , 求圆O的半径。 EE

O AA

O

DD

BB

CC

2.如图，AB是⊙O的弦,∠OCA=300 OB=5cm,OC=8cm,AB= ;

O

8530°

A

┌D

B

C

3、如图，⊙O的直径为10,弦AB=8, P为AB上的一个动点，那么OP长的取值 范围 是 3cm≤OP≤5cm 。

O

A

C

P

B

4、如图，

24.1.2圆的轴对称性——垂径定理及其推论说课稿 (2010-10-11 10:19:07)

转载

标签： 分类： 空间与图形

杂谈

各位专家、评委：

你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。

我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书-《数学>》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。。

这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。

结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。

下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。

一、教学内容的说明

教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点， 垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。

鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：

(1)

24.1.2圆的轴对称性——垂径定理及其推论说课稿 (2010-10-11 10:19:07)

转载

标签： 分类： 空间与图形

杂谈

各位专家、评委：

你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。

我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书-《数学>》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。。

这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。

结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。

下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。

一、教学内容的说明

教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点， 垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。

鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：

(1)

初中数学作业设计模式及分析

陕西省商南县初级中学 洪霞

一、现状分析 1、学生现状分析

目前初中学生数学普遍基础不扎实，学生厌学情绪比较严重。例如：学习有理数加减法时，对于计算法则理解不到位，一直和小学学习的非负数加减法相混淆，因而导致学生计算能力很差。现在的学生只是为了完成老师布置的作业和练习，应付思想严重；教材内容理论较多，学生接受起来难度较大。数学学习几乎没有什么积淀，解答过程不会写、乱写现象严重，做题完全跟着感觉走，而且遗忘周期特别短！ 2、教师现状分析

作为一个数学教师，我也有过点文科数学的教学经历，一开始还比较自信，但是第一次月考结束后，可以说把我的自信完全击碎，我明白如果在教学上不改变点什么，这届学生的数学教学任务肯定完成不了。学生会多少永远比学生做多少都重要。数学教学的实效不取决于教师教给学生什么，而取决于学生实际获得了什么。

二、理论依据

数学教学效率的高低取决于学生学习效率的高低，而作业是学生进行学习最基本的活动形式，学生数学概念的形成、数学知识的掌握、数学方法与技能的获得、学生智力和创新意识的培养，都离不开

1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连

结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ▲ ） （A）215 （C）210

（B）8 （D）213

AOCDBE

答案：D

20130929082532907539 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29

2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是

（A） 3 （B） 5 （C）15 （D） 17

答案：B

20130924151843286232 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24

3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC是⊙O的直径，弦AB?CD于F，连接BC，DB．则

下列结论错误的是（ ）． ．．

? （B）AFAD?BD（A）??BF （C）OF?CF （D）?DBC?90°

答案：C

20130922103714437704 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 201

初中数学垂径定理练习

一．选择题（共13小题）

2

1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为（ ）

A．C． D． cm cm cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）

9 cm B． 6 13 A．B． C． D． 2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（ ）

A．B． ：1 C． 2：1 2：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=最大时，PA的长等于（ ）

D． ：1 ，点P在⊙O上，当∠OPA

3 A．B． C． D． 2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

第1页（共9页）

A．点P B． 点Q C． 点R D． 点M 6．（2014?简阳市模拟）如

垂径定理专题试题精选二附答案

一．解答题（共29小题） 1．（2015?永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD． （1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； （3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

2．（2015?东西湖区校级模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．

3．（2015?安徽模拟）如图，⊙O中，AB、CD是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接BC、BF，若点B是弧CF的中点． （1）求证：△ABF≌△DCB；

（2）若CD⊥AF，垂足为E，AB=10，∠C=60°，求EF的长．

4．（2015?黄浦区一模）已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD． （1）求证：

=

；

（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．

第1页（共10页）

5．（2015?大庆模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：

①请在图中确定并点出该圆弧所

垂径定理

一.选择题 ★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8

答案：D

★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案：B

★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm

答案：C

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

答案：B

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD?6cm，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm

1

初三数学培优卷―― 垂径定理+圆中的角

重点题型：

【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB?CD＝（ ）

A、28 B、26 C、18 D、35

C

22O

E B 【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。 A 1）如图，在下面圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； D （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 例 图

??

0

练习1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

① ①

C?

E

ADB第1题图

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。

C E

G B?AO FD

第2题图

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

A

O? DCB

垂径定理

一.选择题 ★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8

答案：D

★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案：B

★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm

答案：C

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

答案：B

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD?6cm，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm

1