量子力学周世勋简答题

量子力学习题及解答

1

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1833

-?

=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

,1

18)()

(5-?=?=??

? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

86'

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??

-?+--?=-kT

hc kT hc e

kT hc e hc λλλλλ

1. 哪些实验表明电子具有自旋现象？举例说明电子具有自旋。

电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。

实验事实： ① 原子的精细结构 ② 塞曼效应 ③ 斯特恩－盖拉赫实验 ——3分 斯特恩－革拉赫实验：

现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。——2分 解释：对于基态氢原子，l?0,没轨道角动量，因此与磁矩无相互作用， ?应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明Mz是空间量子化的，只有两个取向cos???1，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。 ——2分

2. 为什么说轨道角动量具有空间量子化现象？画出l =3 时角动量空间量子化分布图。

因为轨道角动量及其分量是取分离值，而不能取任意值。——3分

——4分

1. 解释斯特恩-革拉赫实验。

答：斯特恩－革拉赫实验能够说明电子具有自旋角动量：

基态氢原子束通过不均匀磁场时，射到照相片，出现两条分立线。 ——3分

? 如磁矩M在空间可取任何方向，照片上应是一连续带，但实验结果只

1. 哪些实验表明电子具有自旋现象？举例说明电子具有自旋。

电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。

实验事实： ① 原子的精细结构 ② 塞曼效应 ③ 斯特恩－盖拉赫实验 ——3分 斯特恩－革拉赫实验：

现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。——2分 解释：对于基态氢原子，l?0,没轨道角动量，因此与磁矩无相互作用， ?应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明Mz是空间量子化的，只有两个取向cos???1，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。 ——2分

2. 为什么说轨道角动量具有空间量子化现象？画出l =3 时角动量空间量子化分布图。

因为轨道角动量及其分量是取分离值，而不能取任意值。——3分

——4分

1. 解释斯特恩-革拉赫实验。

答：斯特恩－革拉赫实验能够说明电子具有自旋角动量：

基态氢原子束通过不均匀磁场时，射到照相片，出现两条分立线。 ——3分

? 如磁矩M在空间可取任何方向，照片上应是一连续带，但实验结果只

§5.1 非简并定态微扰理论

如何分？假设 把微扰

本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，

的影响逐级考虑进去。

代入方程

同次幂相等

（

（1）

(2)

(3)

① 求能量的一级修正

(2)式左乘

并对整个空间积分

1

能量的一级修正 等于 在

态中的平均值。

②求对波函数一级修正

将

仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含

将上时代入式 (2)

左乘上式，对整个空间积分

以

令

上式化简为：

2

③求能量二级修正

把 代入(3)式，

左乘方程（3）式，对整个空间积分

左边为零

讨论：（1）微扰论成立的条件：

(a) 可分成 ，

是问题主要部分，精确解已知或易求

(b)

（2）可以证明

<<1

例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场

作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

3

是 的偶函数

1

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）

； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1

83

3

-?=

πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

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πλ

λρ

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这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

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2

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量子力学的经典解答题

量子力学基础简答题

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 3、力学量G

4、简述能量的测不准关系；

1(x,y,z) 5、电子在位置和自旋Sz表象下，波函数 (x,y,z) 如何归一化？解释各项的几率意义。

2

6、何为束缚态？

(r,t) (r,t)状态中测量力学量F的可能7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在

值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态 (r,t),采用Dirac符号时，若将 (r,t)改写为不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。

10、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？

(r,t)

有何

14、在简并定态微扰论中，如H

(0)

(0)

的某一能级En，对应f个正交归一本征函数 i（i=1，2， ，

f），为什么一般地 i不能直接作为H

15、在自旋态 1

2

0 H 的零级近似波函数？ H

)2 ( S)2是多少？ 的测不准关系(

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量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e c

hv d kT

hv v v 1

1

833

-?

=πρ， （1）

以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

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18)()

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? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

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1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

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以及

（2）

?vdv???vd?， （3）

有

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本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

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量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长 m与温度T成反比,即

; m T=b(常量)

并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8 hv3

vdv 3

c

1e

hvkT

dv, (1) 1

以及 v c, (2)

vdv vd , (3)

有

dvd

c d

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, 1

这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时, 取得极大值,因此,就得要求 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作 m。但要注意的是,还需要验证 对λ的二阶导数在 m处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的 m就是要求的,具体如下:

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6

e

1

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0

5

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kT

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1.什么是粒组,粒组的划分原则是什么?现行规范对粒组的划分

答:工程上把大小相近的土粒合并为组,称为粒组;粒组间的分界线是人为划定的,划分时应使粒组界限与粒组性质的变化相适应,并按一定的比例递减关系划分粒组的界限值

2.什么是土的粒度成分?粒度成分的表示方法有哪些?土的粒度成分的测定方法有哪两种?,它们各适用于何种土类?

答:土的粒度成分是指途中各种不同粒组的相对含量(以干土重量的百分比表示);

表示方法:表格法 累计曲线法 三角坐标法

3.累计曲线在工程上有什么用途?

答:在工程上,常用累计曲线确定的土粒的两个级配指标值来判断土的级配情况.当同时满足不均匀系数Cu≥5和曲率系数Cc=1～3这两个条件时,土为级配良好的土;若不能同时满足,土为级配不良的土

4.常见的粘土矿物有哪些?它们的性质如何?

高岭石 蒙脱石 伊利石 水云母 ；对粘性土的塑性等影响很大

5.土的三相实测指标是什么?换算指标是什么?

答:土的密度 土的比重 土的含水量

土的孔隙比 土的孔隙率 土的饱和度 土的干密度 土的饱和密度 土的有效密度

6.土中的水对粘性土的性质有什么影响?

答:粘性土中水是控制其工程地质性质的重要因素,如粘性土的可塑性 压缩性及其抗剪性等,都直接或间