高中数学数列求和公式

数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比数列的求和公式Sn??a1(1?q)（切记：公比含字母时一定要讨论）

(q?1)??1?q2．公式法： 1+2+3 …+n =

nn?n?1? 2

?k2?12?22?32???n2?k?1n(n?1)(2n?1)

62?n(n?1)?k?1?2?3???n????2?? k?133333n如：

sn?1?（1?2）?（1?2?3)?...?(1?2?3?...?n)

3．错位相减法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

111111?11? ?(?) ????(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n?n?k?k?nn?k? n?n!?(n?1)!?n! an?1n?n?1

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

2222226．合并求和法：如

数列求和例题精讲

1． 公式法求和

（1）等差数列前n项和公式 Sn

n(a1 an)

2

n(ak 1 an k)

2

na1

n(n 1)2

d

（2）等比数列前n项和公式 q 1时 Sn na1 q 1时 Sn （3）前n个正整数的和 1 2 3 n

a1(1 q)1 q

n

a1 anq1 q

n(n 1)

2

n(n 1)(2n 1)

6

n(n 1)

2

]

2

前n个正整数的平方和 12 22 32 n2 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例1．求数列1，4，7， ，3n 1的所有项的和 例2．求和1 x x2 xn 2(n 2,x 0)

2．分组法求和

例3．求数列1，1 2，1 2 3，…，1 2 3 n的所有项的和。

例4．已知数列 an 中，an3．并项法求和

例5．数列 an 中， an ( 1)n 1n2，求S100。 例6．数列 an 中，，an ( 1)n4n，求S20及S35。 4．错位相减法求和

若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列

数列求和例题精讲

1． 公式法求和

（1）等差数列前n项和公式 Sn

n(a1 an)

2

n(ak 1 an k)

2

na1

n(n 1)2

d

（2）等比数列前n项和公式 q 1时 Sn na1 q 1时 Sn （3）前n个正整数的和 1 2 3 n

a1(1 q)1 q

n

a1 anq1 q

n(n 1)

2

n(n 1)(2n 1)

6

n(n 1)

2

]

2

前n个正整数的平方和 12 22 32 n2 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例1．求数列1，4，7， ，3n 1的所有项的和 例2．求和1 x x2 xn 2(n 2,x 0)

2．分组法求和

例3．求数列1，1 2，1 2 3，…，1 2 3 n的所有项的和。

例4．已知数列 an 中，an3．并项法求和

例5．数列 an 中， an ( 1)n 1n2，求S100。 例6．数列 an 中，，an ( 1)n4n，求S20及S35。 4．错位相减法求和

若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列

高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法

题目

高考要求

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列

的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的

动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳

数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数

因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性

数列{an}前n 项和Sn与通项an an=

S1,n 1 Sn Sn 1,n 2

求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+ +(a2－a1)+a

③归纳、猜想法

数列前n项和常用求法

①重要公式 1+2+ +n=

12

n(n+1)

16

12+22+ +n2=

n(n+1)(2n+1)

14

13+23+ +n3=(1+2+ +n)2=n2(n+1)2

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn

高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法

题目

高考要求

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列

的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的

动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳

数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数

因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性

数列{an}前n 项和Sn与通项an an=

S1,n 1 Sn Sn 1,n 2

求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+ +(a2－a1)+a

③归纳、猜想法

数列前n项和常用求法

①重要公式 1+2+ +n=

12

n(n+1)

16

12+22+ +n2=

n(n+1)(2n+1)

14

13+23+ +n3=(1+2+ +n)2=n2(n+1)2

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn

篇一：高中数学数列测试题_附答案与解析

强力推荐人教版数学高中必修5习题

第二章 数列

1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )．

A．667B．668C．669D．670

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．

A．33B．72 C．84D．189

3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )．

A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5

4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为

｜m－n｜等于( )．

A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 4

5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).

A．81 B．120 C．168 D．192

6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．

A．4 005B．4 006C．4 007D．4 008

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a

优质 合作 高效 合作 整合

an 1 pan q rn型数列通项公式的求解策略——分 消 化 迭 归

由递推公式求数列的通项公式是数列中的常见题型,也是高考考察的热点.本文就递推关系为

an 1 pan q rn(p,q,r为非零常数)的数列通项公式的求法(或证法),谈以下几种求解策略,仅供

参考.

例 数列 an 中，a1

511

，an 1 an n 1 (n N)，求数列 an 的通项公式. 632

分析 构造等比数列是求解该题的有效途径. 策略1 分——将确定x的值.

解法1 由an 1

x 1

拆分成两部分,分配给a与a.构造新数列a,由待定系数法 nn 1nn n 1

22

x1 x11

an n 1, 可设an 1 n 1 an n3223 21x1

, 即 n. aan 1n

362

由

31 3 3 x113

n n 1,解得x 3. ∴an 1 n 1 an n , ∴数列 an n 是以a1 622223 2 2

n 1

32 1 21

为首项,以为公比的等比数列. ∴an n

23 3 33

232

, ∴a n. nnn

233

11

a a 1 n 13n2n 1

策略2 消——由 ,消去n 1

1. 2.3.4.集合

个.

,.

.

的子集个数共有

个；真子集有

个；非空子集有

个；非空的真子集有

5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式(2)顶点式(3)零点式4切线式：设为此式 6.解连不等式

常有以下转化形式

;

;当已知抛物线的顶点坐标

时，设为此式

时，设为此式

时，

；当已知抛物线与轴的交点坐标为

。当已知抛物线与直线

相切且切点的横坐标为

.

7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。

8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数具体如下： (1)当a>0时，若

，则

；

在闭区间

上的最值只能在

处及区间的两端点处取得，

，，.

(2)当a<0时，若，则，

若

9.一元二次方程

，则，

＝0的实根分布

1

.

1方程2方程

在区间在区间

内有根的充要条件为内有根的充要条件为

或；

或或；

3方程在区间内有根的充要条件为或 .

10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间

的子区间形如

。

的子区间

。

(3) 在给定区间

。

(4) 在给定区间

。

对于参数及函数若若函数11.真值表 ｐ ｑ 真 真 真 假 假 真 假 假

2

，，不同上含参数的不等式(为参

数)恒成立的充要条件是(2)在给定区间

上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是

的子区间上

《高中数学常用公式总结》 1、元素与集合的关系 2 、集合

的子集个数共有

个；真子集有 个.

个；

非空子集有个；非空的真子集有

3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式 ： 坐标

时，设为此式）

（当已知抛物线与轴的交

时，设为此式）

。（当已知抛物线与直

（当已知抛物线的顶点

(3) 零点式： 点坐标为 （4）切线式： 线

相切且切点的横坐标为 时，

设为此式）

4、 真值表： 同真且真，同假或假

5 、常见结论的否定形式;

6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

充要条件： (1) 要条件；

（2）

且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；

，则P是q的必要不充分条

则P是q的充分条件，反之，q是p的必

(3) p ≠> p ，且 件；

（4）p ≠> p ，且

则P是q的既不充分又不必要条件。

7、 函数单调性:

增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在 若对任意的 则就叫

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

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高中数学难点解析 难点13 数列的通项与求和

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.

●难点磁场

(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

(1)写出数列{an}的前3项.

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) (3)令bn=(21an?1an?anan?1)(n∈N)，求lim (b1+b2+b3+?+bn－n).

n??*

●案例探究

［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)

2

的等比数列，若函数f(x)=(x－1)，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)