割圆术极限公式

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

面积拼补

求阴影部分面积

面积差：

等腰直角三角形中AB=10， 甲、乙两部分面积相等， 求扇形所在圆的面积

AD圆内相互垂直的两线段把圆分成四部分则A+C和B+D的面积谁大？B2大多少？1C S1-S2=6.56

求直角梯形ABCD的面积

两圆半径都是2cm，且图中两个阴影部分面积相等 求阴影部分面积差 求AB的长

面积重叠：

阴影部分的面积和标有红的部分的面积谁大？

阴影部分的面积和A的面积谁大

有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S+2,并且重合的两块是等面积的,直线a过两个圆心A、B, 如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值. B a A

C

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有

关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，

圆的周长=2πr，

本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22

米，那么

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

常见气体的爆炸极限 气体名化学分子式 下限(V/V) (体积分上限(V/V) (体积分称 乙烷 乙醇 乙烯 氢气 硫化氢 甲烷 甲醇 丙烷 甲苯 二甲苯 乙炔 氨气 苯 丁烷 丙烯 丙酮 苯乙烯 C2H6 C2H5OH C2H4 H2 H2S CH4 CH3OH C3H8 C6H5CH3 C2H2 NH3 C6H6 C4H10 C3H6 CH3COCH3 C6H5CHCH2 数) / % 3.0 3.4 2.8 4.0 4.3 5.0 5.5 2.2 1.2 1.5 15 1.2 1.9 12.5 2.4 2.3 1.1 数) / % 15.5 19 32 75 45 15 44 9.5 7 7.6 100 30.2 8 8.5 74 10.3 13 8.0 C6H5(CH3)2 1.0 一氧化碳 CO 爆炸极限计算方法：比较认可的计算方法有两种： 莱·夏特尔定律

对于两种或多种可燃蒸气混合物，如果已知每种可燃气的爆炸极限，那么根据莱·夏特尔定律，可以算出与空气相混合的气体的爆炸极限。用Pn表示一种可燃气在混合物中的体积分数，则：

LEL=（P1+P2+P3）/（P1/LEL1+P2/LEL2+P3/LEL3） （V%）

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

初中数学知识点——圆：圆的公式汇总

圆的定义

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2； 3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr2；/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679……，

通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值（但奥数常取3或3.1416）。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意

第 1 页

两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周

初中数学知识点——圆：圆的公式汇总

圆的定义

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2； 3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr2；/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679……，

通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值（但奥数常取3或3.1416）。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意

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两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周

三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合三角函数以及极限公式整合

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2