高数积分求解方法

高数不定积分：巧辩题型，不仅仅是刷题

高等数学又被称为“微积分”，顾名思义，高等数学主要是研究微分与积分这一对儿矛盾的，既然是一对儿矛盾，那么从概念到计算法则想必都是一一对应的，是不是这样呢?下面，凯程考研数学组老师就从“矛盾”这一角度重新来看看不定积分的基本计算方法，希望帮助大家更深刻地去理解不定积分及其计算。

首先，回顾一下函数的求导法则：

从这种对应的角度重新去看不定积分与求导法则之间的关系，是不是更有利于理解不定积分的积分法呢?这是从整体框架上帮大家认识积分法则，当然具体到题目就需要同学们练就一双火眼金睛，能快速分析出题目所属类型，相应作出正确的处理，那么就需要我们再从“微观”的角度，细致的去分析如何从被积函数分析出使用哪种方法合适，每种方法在考查的时候又有有何技巧呢?以下内容将和大家一起探讨。

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此外，换元积分分为第一类换元积分与第二类换元积分，从本质上讲是换元积分公式的正向运用与反向运用。就识别来说，第一类换元积分被积函数包含原函数与导函数，第二类换元积分则主要解决被积函数中含有根式的情况，如果含有一次根式，则使用代数换元，将整个根式替换掉，如果含有二次根式则需要使用三角换元。不管是代数换元还是三角换元

大 学 高 数 论 文

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自从入学以来数学就一直陪伴着我们，她无处不影响着我们，使我们变得更加睿智，更加理性，指引着智慧的方向，陪伴着我们走过学习和成长的各个阶段。

数学是一门给人智慧，使人聪明的科学，在数学的世界中，我们可以探索以前所不知道的秘密，在这个过程中我们变的睿智，变的聪明。

由于以前选择了文科，所以到了大学才接受了微积分的知识，也开始了对微积分的探索。现在可以说是略知一二了。

一 微积分的历史发展

微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

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高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________

第十一章 习题一 曲线积分与格林公式

（为了节省纸张和便于收发，请您双面打印）

一．选择题

1．设L为圆周x2?y2?1，L1为该圆周在第一象限的部分，则 （ ） （A）xds?4xds； （B）

LL1???Lyds?4?yds；

L1L1（C）

?Lx2sinyds?4?x2sinyds； （D）?x2cosyds?4?x2cosyds．

L1L22．设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径，L1为

L上从点B到点C的路径，则积分?|y|dx?y3dy等于 （ ）

L（A）0； （B）2?L1|y|dx?y3dy； （C）2?|y|dx； （D）2?y3dx．

L1L13．设G为一个平面单连通区域，P、Q在G上具有一阶连续偏导数，则积分

?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 （ ）

（A）

?P?Q?P?

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法

高等数学 同济第六版上

第四章 不定积分微分法: F′(x) = ( ? ) 互逆运算 积分法: ( ? )′ = f (x)

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第一节 不定积分的概念与性质一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质

第四章 四

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一、 原函数与不定积分的概念引例: 引例 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度

A 因此问题转化为: 已知 v′(t) = sint , 求 v(t) = ? m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sint 的原函数有 cos t, cost + 3,L m m m目录 上页 下页 返回 结束

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问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .

(下章证明 下章证明) 下章证明

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

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微积分 高数

第八章 多 元 函 数 微 分 学

微积分 高数

§8.7 方向导数和梯度哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分

讨论函数 z f ( x, y ) 在一点 P0 沿某一方向 的变化率问题 .设函数 z f ( x , y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 U ( P0 ) 内有定义，自点 P0 引射线 l.设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 , 并设 P ( x x , y y ) 为 l 上的另一点且 P U ( P0 ).P0 x

yP y

l

| P0 P | ( x )2 ( y )2 ,且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ),

o

x

-理学院工科数学教学中心-

微积分 高数

考虑 lim 0

z

, 当 P 沿着 l 趋于 P 时， 0

yP y

l

哈 尔 滨 工 程 大 学

0

lim

f ( x x , y y ) f ( x , y )

是否存在？

P0

一、方向导数的定义

x

o

x

定义1 函数的增量 f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S?（2）M??ds;

L?L?(x,y)ds;

y?(x,y)ds?, y???(x,y)dsLLx?(x,y)ds? （3）x?, ??(x,y)dsLL （4）Ix??Ly2?(x,y)ds, Iy??x2?(x,y)ds, I0??(x2?y2)?(x,y)ds

LLx2y2??1,其周长为a,求?(3x2?4y2)ds. 2.（1）设L为椭圆

L43 （2）设L为圆周x?y?64,求

22?Lx2?y2ds.

x2y2??1,即3x2?4y2?12, 解 （1）L：43从而

?(3xL2?4y2)ds=?12ds=12?ds=12a.

LL22 （2）L：x?y?64, 从而

?Lx2?y2ds=?8ds=8?ds

第六章 定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区

nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.

2、根据定积分的几何意义，

??20xdx?2，

?1?11?x2dx?，

??sinxdx??0.

3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.

二、单项选择题

1、定积分

?baf(x)dx (C) .

(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)

?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx

111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx

00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)dx?0，则 (C)