如何运用等价无穷小求极限

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自然科学

运用等价无穷小求极限的新技巧

江枫

（宁德职业技术学院福建福安３５５０００）

［摘要］众所周知，在求极限过程中和差是不能用等价无穷小替换的。因此，补充一些新的等价无穷小。同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的和差极限问题，通过恒等变形的方法直接转化成能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步。

［关键词］极限等价无穷小替换

中图分类号：０１５文献标识码ｌ＾文章编号：１６７１－－７５９７（２００９）１１１０００１－－０２

一、撕的等价无穷小

注意：当Ｂ（ｘ）＿Ｏ

Ｉｊ

Ａ（ｘ）Ｂ（ｘ）ｊｏ时，把定理中的Ｘ换成Ｂ（ｘ）

在一般的‘高等数学》教材中往往只给出下列几个等价无穷小。当

结论仍成立

．

１

１ｉＰ［１＋口（Ｊ）］州“一１：Ａ（工）曰（工）

（１）ｓｉｎ工：Ｊ（２）ａｒｃｓｉｎｘ：工（３）ｔａｎ，ｘ：工“）１一ｃｏｓｘ：二，

２

（５）￡。－１：工

（６）口。－１：ａ。ｌｎａ（ａ＞０）

（７）ｌｎ（１＋工）：ｚ

［１＋Ｂ（Ｊ）］州“－１－Ａ（ｘ）Ｂ（工）：去Ｂ（工）２ＥＡ２（工）一Ａ（ｘ）］

（８）（１＋工）４一Ｊ

ｎ疆：（口为常数）

由于利用等价无穷小求极限可以大大简化计算过程，只掌握上述八个例如：求ｍｎ—ａ—＋—ｘ）丁ｓ一－

用等价无穷小代换求含和差极限初探

摘要：等价无穷小的等价代换是极限计算中一种常用的方法，对其正确使用是至关重要的。本文给出了用等价无穷小求含和差极限的定理，从而纠正了一种习惯性误差，认为和的形式其部分和不能用其等价无穷小来代替求极限。

关键词：极限 等价无穷小 同阶无穷小 高阶无穷小 目前，绝大部分高等数学教材中在介绍利用等价无穷小求极限时，只给出了积或商的形式可以用等价无穷小代替的定理，而对于和差的形式，一般教材只给出反例，说明和差形式不能用等价无穷小来代替，其实不尽然。那些反例只能说明，在非常的情况下，不一定能实行部分代替。也就是说，若极限表达式的分子或分母是几个量的代数和，则每个量都分别以它们各自的等价量来代替时应当慎重，其原则是代替后的整体应与原来整体等价。

下面通过两个定理来说明含和差形式的极限用等价无穷小时应满足的条件。

定理1：如果在自变量x的某种变换趋势下，变量?琢（x），?茁（x）满足如下条件：（下面的极限书写都略去了自变量x的该种变换趋势）

（1）?琢（x）和?茁（x）是同阶无穷小，且lim≠-1； （2）?琢（x）～（x），?茁（x）～（x） 则：［?琢（x）+?茁（x）］～［（x）+（x）］ 证明：设lim＝，由已知有

第七节 无穷小的比较

教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程：

一、讲授新课：

在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情

?a0?b?0??0????m?nm?nm?n况，例如：lima0xb0xnmx?0?limxx?0n?m?a0b0 （a0,b0为常数，m,n为自然

数）

可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：

定义：设?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若lim(ii)

???0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)；

若lim????????，，就说?是比?低阶的无穷小；

，，就说?是比?同阶的无穷小；

(iii) 若lim (iv) 【例1】

若lim?C?0?1，就说?与?是等价无穷小，记为?~?。

当x?0时，x2是x的高阶无穷小，即x2?o(x)；反之x是x2的低阶无

穷小；x2 与1?cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：x2?o(x),x2?o(x)，但o(x)?o(x)

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

?1,1.（90）设函数f(x)???0,?x22.（92）设函数f(x)??2?x?x2x?1x?1则f?f(x)?= 1

?x2?x则f(?x)=?2x?0?xx?0x?0x?0

x23.（92）设f(x?1)?ln2且f(??x?)?lnx则??(x)dx?x?2lnx?1?c

x?2?2?x 4．（97）设g?x????x?2??15.（01）设f?x?????0?x2，f?x???x?0??xx?0?2?x2则g(f(x))=?x?0?2?xx?0x?0x?0，

x?1 则ff?f?x??= 1 x?1??

专题二：求数列极限

1.（03）设?an?，?bn?，?cn?均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有：

n??n??n?? A an?bn对任意n成立 B bn?cn对任意n成立 C 极限liman?cn不存在 D 极限limbn?cn不存在

n??n??2.（98）设数列xn与yn满足limxn?yn?0则下列断言正确的是：

n??A 若xn发散，则yn必发散

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

?1,1.（90）设函数f(x)???0,?x22.（92）设函数f(x)??2?x?x2x?1x?1则f?f(x)?= 1

?x2?x则f(?x)=?2x?0?xx?0x?0x?0

x23.（92）设f(x?1)?ln2且f(??x?)?lnx则??(x)dx?x?2lnx?1?c

x?2?2?x 4．（97）设g?x????x?2??15.（01）设f?x?????0?x2，f?x???x?0??xx?0?2?x2则g(f(x))=?x?0?2?xx?0x?0x?0，

x?1 则ff?f?x??= 1 x?1??

专题二：求数列极限

1.（03）设?an?，?bn?，?cn?均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有：

n??n??n?? A an?bn对任意n成立 B bn?cn对任意n成立 C 极限liman?cn不存在 D 极限limbn?cn不存在

n??n??2.（98）设数列xn与yn满足limxn?yn?0则下列断言正确的是：

n??A 若xn发散，则yn必发散

§1-6 无穷小与无穷大及其比较

A级同步训练题：

一、客观题：

1、若x是无穷小，下面说法错误的是（ ）。

（A） x2是无穷小（B）2x是无穷小 （C）x－0.0001是无穷小 （D）－x是无穷小 2、下面命题中正确的是（ ）。

（A）无穷大是一个非常大的数 （B）有限个无穷大的和仍为无穷大 （C）无界变量必为无穷大 （D）无穷大必是无界变量 3、x→0时，1—cos2x是x2的 （ ）。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 4、下列极限中，值为1的是 。

(A) limx???sinx2x (B) limx?0?sinx2x (C) limx??sinx2x? (D) limx???sinx2x

2二、计算下列极限：

1?cos2x(x?1)2?(x?1)31、lim 2、lim

x?0x?0xtanxx3、limln(1?2x)tanx?sinx 4、li

关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减

法的若干探讨

程浩

北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191

薛玉梅

北京航空航天大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，

100191

摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了 一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广. 关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式 一、引言

我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即： 设函数f?x?,g?x?,h?x?在x0附近有定义，且f?x?~g?x??x?x0? 则：若limf?x?h?x??a，则limg?x?h?x??a；

x?x0x?x0若limx?x0h?x?h?x??a，则lim?a.（在x0附近f?x??0,g?x??0）

x?x0g?x?f?x?那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得： 若f?x?~g?x??x?x0?，则lim?f?x??h?x???lim?g?x??h?x??（若两极限存在）但

x?x0x?x0在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如： 例1计算limx?0tanx?sinx

sin3xsinx?sinxtanx?sinxta

大学文科高数

无穷小量的比较引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换

大学文科高数

一、无穷小量的比较 观察下列极限 当 x →0时, 3x, x2, sinx都是无穷小, 3x sinx都是无穷小,x2 lim = 0, x→0 3 xsin x = 1, lim x→0 x

3x lim 2 = ∞, x →0 x

上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念. 给出无穷小量比较的几个概念.

大学文科高数

定义1 定义1 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 是自变量同一变化过程中的无穷小,

β (1)若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶的无穷小, 记作 高阶的无穷小, α β = o(α ) β 低阶的无穷小 (2)若 lim = ∞ , 则称

第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小

课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建

课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程

教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如何重建的

课时安排：1课时

本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机-回归严谨

什么是数学危机? 危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…