分式方程及其应用思维导图

总复习

考点 分式 方程 的概 念

课标要求 1.知道分式方程的概念，会识别分式 方程； 2.理解分式方程中产生增根(无解) 的情况.

难度

较难

1.知道解分式方程的一般步骤； 2.掌握应用“去分母”和“换元”将分式 分式 方程转化为整式方程，领会解分式方 方程 程“整式化”的化归思想； 的解 3.掌握分式方程的验根方法，注意解 法 分式方程时可能会出现增根，解方程 后一定要验根.

中等

考点 分式 方程 的应 用

课标要求 1.分式方程来解决简单的实际问题. 2.在列分式方程应用题求解检验时， 不仅要考虑是否产生了增根，还要考 虑是否符合题意(实际情况).

难度

中等

题型预测 分式方程考查内容相对比较集中，如分式方 程的增根或无解问题、解分式方程问题和分式方 程的应用问题，除了应用问题常出现在解答题中 外，其余基本以填空、选择的形式出现，其中与 增根有关的问题难度较大.

1._____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的增根必须满足两个条件 某一个分母 (1)使原分式方程的______________ 为零； (2)是原分式方程去分母后所得的整式方程的根 ___________.

3 .解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为______

数学电子教案

考点

课标要求

难度

分式 1.知道分式方程的概念，会识别分式方程； 方程 2.理解分式方程中产生增根(无解)的情 的概 况. 念

较难

1.知道解分式方程的一般步骤； 2.掌握应用“去分母”和“换元”将分式方程转 分式 化为整式方程，领会解分式方程“整式化”的 方程 化归思想； 的解 3.掌握分式方程的验根方法，注意解分式 法 方程时可能会出现增根，解方程后一定要验 根.

中等

考点

课标要求

难度

分式 1.分式方程来解决简单的实际问题； 方程 2.在列分式方程应用题求解检验时，不仅 的应 要考虑是否产生了增根，还要考虑是否符合 中等

用

题意(实际情况).

题型预测分式方程考查内容相对比较集中，如分式方程的增 根或无解问题、解分式方程问题和分式方程的应用问题， 除了应用问题常出现在解答题中外，其余基本以填空、选 择的形式出现，其中与增根有关的问题难度较大.

1._____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的增根必须满足两个条件：某一个分母 (1)使原分式方程的______________ 为零；

整式方程的根 . (2)是原分式方程去分母后所得的___________

3 .解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为_________

数学电子教案

考点

课标要求

难度

分式 1.知道分式方程的概念，会识别分式方程； 方程 2.理解分式方程中产生增根(无解)的情 的概 况. 念

较难

1.知道解分式方程的一般步骤； 2.掌握应用“去分母”和“换元”将分式方程转 分式 化为整式方程，领会解分式方程“整式化”的 方程 化归思想； 的解 3.掌握分式方程的验根方法，注意解分式 法 方程时可能会出现增根，解方程后一定要验 根.

中等

考点

课标要求

难度

分式 1.分式方程来解决简单的实际问题； 方程 2.在列分式方程应用题求解检验时，不仅 的应 要考虑是否产生了增根，还要考虑是否符合 中等

用

题意(实际情况).

题型预测分式方程考查内容相对比较集中，如分式方程的增 根或无解问题、解分式方程问题和分式方程的应用问题， 除了应用问题常出现在解答题中外，其余基本以填空、选 择的形式出现，其中与增根有关的问题难度较大.

1._____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的增根必须满足两个条件：某一个分母 (1)使原分式方程的______________ 为零；

整式方程的根 . (2)是原分式方程去分母后所得的___________

3 .解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为_________

培优训练8、分式方程及其应用 姓名： 学号： 时间：

【知识精读】

1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：

分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得 例2. 解方程

x?1x?6x?2x?5??? x?2x?7x?3x?6 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难

分式方程的实际应用

分式方程的应用与一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用在列式没有区别，只是在解完方程后除检验是否符合实际问题后，还要检验求出的根是否使原方程式的根为0，最后才答。

一．行程问题

例1 A、B两地相距80Km，甲骑车从A地出发，1h后乙也从A地出发，其速度是甲的1.5倍，

当追到B地时甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度

例2 一列火车从车站开出，预计行程600Km，当它开出3h后，因出现特殊情况，休整耽误了

30min，后来把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。

巩固练习：

1. 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公

路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上每小时快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2. A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽

车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。

3. 我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必

需是原计划的

行程问题课件

分式方程应用（行程问题）

你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.

行程问题课件

随时小结

列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.

两次检验是:

(1)是否是所列方程的解;

(2)是否满足实际意义.

6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.

行程问题课件

1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .

基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4

(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，

300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x

(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，

450 则该客车的速度是__________千米/时. x

在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；

逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .

行程问题课件

例题1：某列车

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分式方程应用（行程问题）

你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.

行程问题课件

随时小结

列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.

两次检验是:

(1)是否是所列方程的解;

(2)是否满足实际意义.

6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.

行程问题课件

1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .

基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4

(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，

300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x

(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，

450 则该客车的速度是__________千米/时. x

在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；

逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .

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例题1：某列车

分式方程及其增根

文章来源：现代教育报·思维训练 作者：都卫华 点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53

解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.

【例1】解方程 .

解：方程两边同乘x（x+1），得 5x-4（x+1）=0.

化简，得x-4=0. 解得x=4.

检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，

∴ x=4是原方程的解.

【例2】解方程

解：原方程可化为，

方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.

化简，得2x-3=-1.解得 x=1.

检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.

【小结】 去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.

【例3】 解方程 .

解：原方程可变形为 .

解得x=.

检验：当x=

所以x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 是原方程的解.

【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单

如何理解分式方程和分式方程的根

学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：

1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。这告诉我们：

x2?1与x?1是不同的两个方程，①分式方程是形式上的定义。如方程前者x为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。如关于x的方程

1x?m?2?，它不是分式方程，而是整式方程。 m2③分式方程是有理方程。如方程

x?1不是分式方程。 x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程

x2?2?1，若方程两边乘以(x?1)(x2?2x?1)，解得x?1x?2x?1x??1，而x??1为增根；若方程两边乘以x2?2x?1，解得x?1为原方程的根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：

一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。如

篇一：2014新北师大版5.4.1分式方程导学案

课题：5.4.1分式方程（一）

---生活中的分式方程

班级 姓名 座号 第组第号 组内评价并签名：课型 新课 主备人 袁文平审核人 初二数学组 上课时间教师评价 ●学习目标：1、通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，归纳分式方程的概念。

2、在活动中培养乐于探究合作学习的习惯，培养努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

●学习重点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义 ●学习难点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程.

●学法指导：

1课前：预习教材126-127页，按照星类要求完成活动一内容，组长进行批改！ 2课堂：订正自主预习部分，利用5分钟时间完成活动二内容，并小组讨论！ 3课后：导学案中所有的题目，徒弟向师父进行过关，将导学案中的错题抄到第4页， 再做一遍，自行批改！消化所有内容！

【活动一】课前高效自主预习

建立方程模型，解决生活中的问题

问题1（★）： 北京到福州的高铁铁路线总长度约2010km，普通快车铁路线总长度是2330km，乘坐高铁G56次列车比乘坐普通快车K46次列出少用25h，已知G56次列车的速度是K46次列车的3倍，求