定积分不定积分计算典型例题
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不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
x2 1
例1.計算 4
x 1
解法1
x4 1 (x2
2x 1)(x2 2x 1).
而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以
x2 1111
( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2
1
221(x )
22
1d(2x 1)
1
221
(x )
22
1d2x 1)
)
2(
2
2x 1) 1
2
2(
2x 1) 1
2
1
2x 1) 2x 1)] c.
x2 1(x2 2x 1) 2x
22
解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)
dx2x
4 2
x 1x 2x 1
11 2x 1) arctanx2 c.
22 解法3
11
1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx
2
1
d(x )
1x2 1 c
1222x(x ) 2x lim
x 0
12
x2 1x
22
,
不定积分的典型例题
1x2 1 lim , x 0
22x22由拼接法可有
2
x 1
dx x4 1
1x2 1 22x22
1x2 1 22x22
c,x 0
x 0. c
x 0
x3 2
例2.求 . 22
(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式
x3 2ABCx D
不定积分例题及答案
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原
不定积分,定积分复习题及答案
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不定积分、定积分 测验试卷
姓名: 学号: 班级: 成绩:
一、选择题:(每小格3分,共30分)
1、设
sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a
?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x
e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0
x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?-
3、设01,0
()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-
?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续;
(B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导;
(C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法
这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x),而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如f(x)为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,f(x)为无理函数时,常可用换元积分法。 应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如
?sinxxdx;?e?x2dx;?1lnxdx;?dx1?ksinx22(其中0?k?1)等。
这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析
(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明
(1)原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数
f(x),若存在函数F(x),使得该区间上每一点x处都有F?(x)
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1)
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式(2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+?
★(2)dx
?
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???()
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x
不定积分表
Yz.Liu.2013.09
卷终 公式表注解四
基本不定积分表
序言:
微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎
覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式
之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组,151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式:
?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数
?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数
(3).?exdx?ex?C
(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数
(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?
不定积分培优讲义
不定积分
内容要点
1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个? 一、基本概念与性质
1.原函数与不定积分的概念
2.不定积分的性质
设 ?f?x?dx?F?x??C,其中F?x?为f?x?的一个原函数,C为任意常数。则 (1)
?F??x?dx?F?x??C
?? 或?dF?x??F?x??C
???(2) ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx
(3) (4) ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3.原函数的存在性 1)设f?x?在区间I上连续,则f?x?在区间I上原函数一定存在 2)初等函数的原函数不一定是初等函数
?sin?x2?dx,?cos?xxa?12?dx,?sinxxdx,?cosxxdx,?dxlnx,?e?xdx
2二、基本积分公式 1.?xdx?1aa?1?C (a??1,实常数)
2.?dx?lnx?C
x3.?adx?x1lnaxa?C (a?0,a?1)
x?exdx?e?C
4.?cosxdx?sinx?C 5.?sinxdx??cosx?C
6.?secxdx?7.?cscxdx?22?co
不定积分换元法例题1
__________________________________________________________________________________________
【第一换元法例题】
1、9999(57)(57)(571
1(57)(57)55
)(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111(57)5550
d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5
x d x dx dx d x +=+==+??
2、
1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=????
221(l 1ln ln (ln )2n )2
x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===??
3(1)sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?????
cos ln |cos |c ln |co s |o s x x
不定积分基本公式
不定积分基本公式
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral)
课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容:
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式
(C) 0x 1
(x 1)
1 x (ex) ex(ax) axlna1x
(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)
1
(arctanx)
1 x2
(arccosx) 1
(arccotx)
1 x21
(logax)
xlna
0dx C dx x C
x 1
xdx 1
不定积分练习与答案
(1)
?xdx2x (2)
3(?x?1x)dx
(3)
(2?x?x2)dx
(4)
?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)(?x2-1x+34x3-x4)dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)
?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx(1)
?e3tdt (4)
?135?3xdx (7)
?tan10xsec2xdx (10)
?dxsinxcosx (13)
?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)
?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx